南方科技大学 2021年强基第7题
📝 题目
甲乙两人从六门选修课中选 3 门，恰有一门课相同的概率是多少？
💡 答案解析
【解析】先考虑相同的一门课，后考虑二者其他互不相同的两门课，故所求概率为 $\displaystyle \frac{C_{6}^{1} \cdot C_{5}^{2} \cdot C_{3}^{2}}{C_{6}^{3} \cdot C_{6}^{3}}=\frac{6 \cdot 10 \cdot 3}{20 \cdot 20}=\frac{9}{20}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：计算总的基本事件数
甲乙各自从6门课中选3门，总选法数为C(6,3)×C(6,3)=20×20=400。
公式：C(6,3)=20
提示：注意是独立选择，总数为乘积。
步骤 2/6
目标：确定相同的一门课
先选甲乙共同选修的那一门课，有C(6,1)=6种选法。
公式：C(6,1)=6
提示：相同课是前提，先固定。
步骤 3/6
目标：为甲选剩余两门课
从剩下的5门课中为甲选2门，有C(5,2)=10种选法。
公式：C(5,2)=10
提示：注意剩余课程数。
步骤 4/6
目标：为乙选剩余两门课
乙的课程不能与甲重复，从甲未选的3门课中选2门，有C(3,2)=3种选法。
公式：C(3,2)=3
提示：确保乙的课与甲不同。
步骤 5/6
目标：计算有利事件数
有利事件数为C(6,1)×C(5,2)×C(3,2)=6×10×3=180。
公式：6×10×3=180
提示：分步相乘。
步骤 6/6
目标：计算概率
概率=有利事件数/总事件数=180/400=9/20。
公式：180/400=9/20
提示：化简分数。
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