南方科技大学 2021年强基第8题
📝 题目
有如下两个命题： 命题一：若 $f(x), g(x), h(x)$ 三个函数，满足 $f(x)+g(x)$ 单调递增，$f(x)+h(x)$ 单调递增， $g(x)+h(x)$ 单调递增，则 $f(x), g(x), h(x)$ 至少一个单调递增。 命题二：若 $f(x), g(x), h(x)$ 三个函数，满足 $f(x) \cdot g(x)$ 是奇函数，$f(x) \cdot h(x)$ 是奇函数， $g(x) \cdot h(x)$ 是奇函数，则 $f(x), g(x), h(x)$ 都是奇函数。 两个命题中，哪个命题是真命题？
💡 答案解析
【解析】命题一假命题：考虑 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}-x & x \leq 0 \\ 2 x & x\gt 0\end{array}, g(x)=\left\{\begin{array}{cc}2 x & x \leq 0 \\ -x & 0\lt x \leq 1, \\ 2 x-3 & x\gt 1\end{array}\right.\right. h(x)=\left\{\begin{array}{cc}2 x & x \leq 1 \\ -x+3 & x\gt 1\end{array}\right.$, 则三个函数满足条件，但都不是递增函数命题二也是假命题，因为两个奇函数的乘积是偶函数，故命题二结论与条件是矛盾的。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析命题一的条件和结论
命题一：若f+g、f+h、g+h均单调递增，则f、g、h至少一个单调递增。考虑构造反例。
提示：注意单调递增的定义：对任意x1
步骤 2/5
目标：构造反例证明命题一为假
构造分段函数：f(x) = -x (x≤0), 2x (x>0); g(x) = 2x (x≤0), -x (01); h(x) = 2x (x≤1), -x+3 (x>1)。验证f+g、f+h、g+h均单调递增，但f、g、h均不单调递增。
提示：分段函数需检查每个区间及连接点。
步骤 3/5
目标：分析命题二的条件和结论
命题二：若f·g、f·h、g·h均为奇函数，则f、g、h都是奇函数。考虑奇函数性质。
提示：奇函数定义：f(-x) = -f(x)。
步骤 4/5
目标：利用奇函数性质推导矛盾
若f·g和f·h均为奇函数，则(f·g)(-x) = -f(-x)g(-x) = -f(x)g(x)，且(f·h)(-x) = -f(-x)h(-x) = -f(x)h(x)。两式相除得g(-x)/h(-x) = g(x)/h(x)，即g/h为偶函数。但g·h为奇函数，则(g·h)(-x) = -g(x)h(x)，结合g/h偶函数可推出g和h均为奇函数？实际上，若g和h均为奇函数，则g·h为偶函数，与条件矛盾。故命题二假。
提示：注意奇函数乘积为偶函数。
步骤 5/5
目标：总结两个命题的真假
命题一为假命题，有反例；命题二也为假命题，因为条件与结论矛盾。
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