南方科技大学 2021年强基第9题
📝 题目
考虑两个圆锥曲线 $\displaystyle C_{1}: x^{2}+(y-6)^{2}=2, C_{2}: \frac{x^{2}}{10}+y^{2}=1$ ，点 $P$ 在 $C_{1}$ 上运动，点 $Q$ 在 $C_{2}$ 上运 动，求：$|P Q|$ 的最大值。
💡 答案解析
【解析】记点 $R(0,6)$ ，则 $|P Q| \leq|P R|+|R Q|=\sqrt{2}+|R Q|$ ，而点 $Q$ 的坐标由参数方程可以写成 $(\sqrt{10} \cos \theta, \sin \theta)$ ，故 $|R Q|^{2}=10 \cos ^{2} \theta+(\sin \theta-6)^{2}=10 \cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta -12 \sin \theta+36=-9 \sin ^{2} \theta-12 \sin \theta+46$ ，根据二次函数对称轴 $\displaystyle x=-\frac{12}{2 \cdot 9}=-\frac{2}{3}$ 知 $\displaystyle |R Q|^{2} \leq-9 \cdot \frac{4}{9}+12 \cdot \frac{2}{3}+46=50$ ，故 $|P Q| \leq \sqrt{2}+5 \sqrt{2}=6 \sqrt{2}$ 。取等条件为 $\displaystyle Q\left( \pm \frac{5}{3} \sqrt{2},-\frac{2}{3}\right)$ ， $P, Q, R$ 三点共线。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用三角不等式转化问题
记点R(0,6)，则|PQ| ≤ |PR| + |RQ|。由于P在圆C1上，|PR|为定值√2，问题转化为求|RQ|的最大值。
公式：|PQ| ≤ |PR| + |RQ|
提示：三角不等式是处理距离最值问题的常用方法。
步骤 2/6
目标：写出Q的参数方程
C2: x²/10 + y² = 1，参数方程为x = √10 cosθ, y = sinθ，其中θ∈[0,2π)。
公式：x = √10 cosθ, y = sinθ
提示：椭圆参数方程的标准形式。
步骤 3/6
目标：计算|RQ|²的表达式
|RQ|² = (√10 cosθ)² + (sinθ - 6)² = 10cos²θ + sin²θ - 12sinθ + 36 = -9sin²θ - 12sinθ + 46。
公式：|RQ|² = -9sin²θ - 12sinθ + 46
提示：利用cos²θ = 1 - sin²θ化简。
步骤 4/6
目标：求|RQ|²的最大值
令t = sinθ∈[-1,1]，则f(t) = -9t² - 12t + 46，对称轴t = -2/3∈[-1,1]，最大值f(-2/3) = 50。
公式：f(t) = -9t² - 12t + 46，对称轴t = -2/3
提示：二次函数在闭区间上最值需考虑对称轴位置。
步骤 5/6
目标：计算|PQ|的最大值
|RQ| ≤ √50 = 5√2，故|PQ| ≤ √2 + 5√2 = 6√2。
公式：|PQ|max = √2 + 5√2 = 6√2
提示：注意取等条件：P、Q、R三点共线。
步骤 6/6
目标：给出取等条件
当sinθ = -2/3时，cosθ = ±√(1 - 4/9) = ±√5/3，Q坐标为(±(5√2)/3, -2/3)，且P在圆上使得P、Q、R共线。
公式：Q(±(5√2)/3, -2/3)
提示：取等时P位于圆上R到Q的连线上。
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