南方科技大学 2021年强基第10题
📝 题目
已知函数 $f(x)$ 满足 $f(x)=2 f(2-x)+x^{2}+8 x-8$ ，求：$f(x)$ 在 $(1, f(1))$ 处的切线方程。
💡 答案解析
【解析】将 $2-x$ 替换 $x$ 代入条件得 $f(2-x)=2 f(x)+x^{2}-12 x+12$ ，二者联立得 $f(x)=4 f(x)+3 x^{2}-16 x+16$ ，故 $\displaystyle f(x)=-x^{2}+\frac{16}{3} x-\frac{16}{3}, f^{\prime}(x)=-2 x+\frac{16}{3}$ 。故切线方程为 $\displaystyle y=f(1)+f^{\prime}(1)(x-1)=-1+\frac{10}{3}(x-1)=\frac{10}{3} x-\frac{13}{3}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用变量替换得到第二个方程
将原方程中的x替换为2-x，得到f(2-x)=2f(x)+(2-x)^2+8(2-x)-8，化简得f(2-x)=2f(x)+x^2-12x+12。
公式：f(2-x)=2f(x)+x^2-12x+12
提示：注意替换后要化简完全。
步骤 2/6
目标：联立方程消去f(2-x)
将原方程f(x)=2f(2-x)+x^2+8x-8与上一步得到的方程联立，代入消去f(2-x)，得到f(x)=4f(x)+3x^2-16x+16。
公式：f(x)=4f(x)+3x^2-16x+16
提示：代入时注意系数。
步骤 3/6
目标：解出f(x)的表达式
将上一步方程移项得-3f(x)=3x^2-16x+16，两边除以-3得f(x)=-x^2+(16/3)x-16/3。
公式：f(x)=-x^2+\frac{16}{3}x-\frac{16}{3}
提示：注意符号。
步骤 4/6
目标：求导数f'(x)
对f(x)求导：f'(x)=-2x+16/3。
公式：f'(x)=-2x+\frac{16}{3}
提示：幂函数求导公式。
步骤 5/6
目标：计算f(1)和f'(1)
代入x=1：f(1)=-1+16/3-16/3=-1；f'(1)=-2+16/3=10/3。
公式：f(1)=-1, f'(1)=\frac{10}{3}
提示：注意分数运算。
步骤 6/6
目标：写出切线方程
切线方程为y-f(1)=f'(1)(x-1)，即y+1=(10/3)(x-1)，化简得y=(10/3)x-13/3。
公式：y=\frac{10}{3}x-\frac{13}{3}
提示：点斜式方程。
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