南方科技大学 2021年强基第11题
📝 题目
给出直线方程 $l:\left\{\begin{array}{l}x=1-t \\ y=t+1\end{array}\right.$（ $t$ 为参数）与圆锥曲线 $C: \rho^{2} \cos 2 \theta=4$ 的交点及二者的直角坐标系下的方程。
💡 答案解析
【解析】消去参数 $t$ 得 $l: y=2-x$ ，再利用二倍角公式得普通方程为： $4=\rho^{2} \cos 2 \theta=\rho^{2}\left(\cos ^{2} \theta-\sin ^{2} \theta\right)=x^{2}-y^{2}$ ，二者联立： $4=x^{2}-(2-x)^{2}=2(2 x-2) \Rightarrow x=2, y=0$ ，即交点坐标为 $(2,0)$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将直线参数方程化为普通方程
由参数方程 x=1-t, y=t+1，消去参数 t 得 y=2-x。
公式：y = 2 - x
提示：注意参数 t 的消去方法，直接代入即可。
步骤 2/4
目标：将圆锥曲线极坐标方程化为直角坐标方程
利用二倍角公式 cos2θ = cos²θ - sin²θ，代入 ρ²cos2θ = 4 得 ρ²(cos²θ - sin²θ) = 4，即 x² - y² = 4。
公式：x² - y² = 4
提示：注意极坐标与直角坐标的转换关系：x=ρcosθ, y=ρsinθ。
步骤 3/4
目标：联立直线与圆锥曲线方程求交点
将 y=2-x 代入 x² - y² = 4，得 x² - (2-x)² = 4，化简得 4x - 4 = 4，解得 x=2，代入 y=2-x 得 y=0。
公式：x² - (2-x)² = 4
提示：注意化简过程中的符号，避免计算错误。
步骤 4/4
目标：写出交点坐标
交点坐标为 (2,0)。
提示：检查是否满足两个方程。
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