南方科技大学 2021年强基第12题
📝 题目
考虑平面区域 $\displaystyle \left\{\begin{array}{c}y \leq x+2 \\ x+y-2 \geq 0 \\ \frac{1}{2} x-y-1 \leq 0\end{array}\right.$ ，若在这个区域中，函数 $z=-a x+y$ 的最大值点不止一个，求 $a$的所有可能值。
💡 答案解析
【解析】如图所示，黄色为题中关心的区域 
考虑线性规划 $y=a x+z$ ，函数值 $z$ 即为纵轴截距。因此可知若 $a\gt 1$ ，则 $z$ 的最大值为 2 ，且只有一个最大值点；若 $a=1$ ，则 $z$ 的最大值为 2 ，最大值点为直线 $y=x+2$ ，满足条件；若 $a\lt 1$ ，则考虑直线 $y=x+2$ 上的点可知，$z$ 无最大值。综上，$a=2$ 。
考虑线性规划 $y=a x+z$ ，函数值 $z$ 即为纵轴截距。因此可知若 $a\gt 1$ ，则 $z$ 的最大值为 2 ，且只有一个最大值点；若 $a=1$ ，则 $z$ 的最大值为 2 ，最大值点为直线 $y=x+2$ ，满足条件；若 $a\lt 1$ ，则考虑直线 $y=x+2$ 上的点可知，$z$ 无最大值。综上，$a=2$ 。📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：画出可行域
画出三条直线：y=x+2, x+y-2=0, (1/2)x-y-1=0，确定不等式组表示的平面区域为三角形区域。
提示：注意不等号方向，确定区域边界。
步骤 2/4
目标：将目标函数化为斜截式
由z=-ax+y得y=ax+z，z表示直线在y轴上的截距。
公式：y=ax+z
提示：z的几何意义是纵截距。
步骤 3/4
目标：分析斜率a对最大值点个数的影响
当a>1时，直线y=ax+z与可行域只有一个交点，最大值唯一；当a=1时，直线与边界y=x+2平行，最大值点有无数个；当a<1时，直线向上平移时无最大值。
提示：考虑直线斜率与边界斜率的关系。
步骤 4/4
目标：得出结论
只有当a=1时，最大值点不止一个，故a的所有可能值为1。
提示：注意答案中a=2是笔误，正确应为a=1。
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