华南理工大学 2023年强基第1题
📝 题目
求 $f(x)=8 n x^{2}-3 \cos x-2$ 的最小值。
💡 答案解析
【解析】注意到 $8 n x^{2}$ 在 $x=0$ 处取最小值，$-3 \cos x$ 也能在 $x=0$ 取到理论最小值 -3 。故函数最小值就在 $x=0$ 处取到，为 -5 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：分析函数结构
函数由两项组成：8n x^2 和 -3 cos x，其中n为常数。第一项在x=0处取最小值0，第二项在x=0处取最小值-3。
公式：f(x)=8n x^2 - 3 cos x - 2
提示：注意两项在x=0同时取到最小值，因此整体最小值可能在x=0处。
步骤 2/3
目标：验证x=0是否为最小值点
计算f(0)=8n*0 - 3 cos 0 - 2 = -3 - 2 = -5。由于8n x^2 ≥ 0，-3 cos x ≥ -3，所以f(x) ≥ -5，等号在x=0时成立。
公式：f(0) = -5
提示：利用不等式放缩：8n x^2 ≥ 0，-3 cos x ≥ -3，相加得f(x) ≥ -5。
步骤 3/3
目标：确认最小值
因为当x=0时，两项同时取到最小值，且-2为常数，所以f(x)的最小值为-5。
公式：min f(x) = -5
提示：无需导数，直接利用函数性质。
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