华南理工大学 2023年强基第4题
📝 题目
圆 $O$ 半径为 $1, O A=2$ ，过 $A$ 作 $A C$ 与 $\odot O$ 相切于 $C, B C / / O A, B C=1$ ，求阴影部分面积。 
💡 答案解析
【解析】由半径为 1 且 $O C \perp A C$ 知 $\angle O A C=30^{\circ}$ 。故 $\angle O C B=\pi-\angle O C A-\angle O A C=60^{\circ}$从而 $\displaystyle S=\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin \angle B C O=\frac{\sqrt{3}}{4}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定OC与AC垂直关系
因为AC与圆O相切于C，所以OC垂直于AC，即∠OCA=90°。
公式：切线的性质：半径垂直于切线
提示：牢记切线性质
步骤 2/4
目标：计算∠OAC
在直角三角形OAC中，OA=2，OC=1，所以sin∠OAC=OC/OA=1/2，因此∠OAC=30°。
公式：sinθ=对边/斜边
提示：注意特殊角
步骤 3/4
目标：计算∠OCB
因为BC∥OA，所以∠AOC=∠OCB（内错角）。在△OAC中，∠AOC=90°-30°=60°，故∠OCB=60°。
公式：平行线内错角相等；三角形内角和180°
提示：正确识别平行线关系
步骤 4/4
目标：计算阴影部分面积
阴影部分为三角形OBC，已知OC=1，BC=1，∠OCB=60°，面积S=1/2·OC·BC·sin∠OCB=1/2·1·1·sin60°=√3/4。
公式：三角形面积公式S=1/2·ab·sinC
提示：代入数值计算
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