华南理工大学 2022年强基第2题
📝 题目
设 $f(x)=4 x^{4}-3 x^{3}+2 x^{2}-3 x+4$ ，求 $f(3)$ 。
💡 答案解析
解：由 $f(x)=4 x^{3}(x-3)+9 x^{2}(x-3)+29 x(x-3)+84(x-3)+3 \times 84+4$ 知，$f(3)=256$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将f(x)表示为(x-3)的多项式形式
通过多项式除法或配凑，将f(x)写成(x-3)的幂次形式，以便代入x=3时简化计算。
公式：f(x)=4x^4-3x^3+2x^2-3x+4
提示：注意从高次项开始逐次提取(x-3)因子。
步骤 2/6
目标：提取4x^3(x-3)项
将4x^4写成4x^3(x-3)+12x^3，与原式-3x^3合并得9x^3。
公式：4x^4 = 4x^3(x-3) + 12x^3
提示：确保每次提取后剩余项次数降低。
步骤 3/6
目标：提取9x^2(x-3)项
将9x^3写成9x^2(x-3)+27x^2，与原式2x^2合并得29x^2。
公式：9x^3 = 9x^2(x-3) + 27x^2
提示：继续提取直到常数项。
步骤 4/6
目标：提取29x(x-3)项
将29x^2写成29x(x-3)+87x，与原式-3x合并得84x。
公式：29x^2 = 29x(x-3) + 87x
提示：注意符号。
步骤 5/6
目标：提取84(x-3)项并计算常数
将84x写成84(x-3)+252，与原式4合并得256。
公式：84x = 84(x-3) + 252
提示：最终常数项为252+4=256。
步骤 6/6
目标：代入x=3求值
所有含(x-3)的项均为0，只剩常数256，故f(3)=256。
公式：f(3)=256
提示：直接代入验证。
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