华南理工大学 2022年强基第3题
📝 题目
设 $\sqrt{4-x^{2}}=k x+2$ 只有一个实根，求 $k$ 的取值范围 。 A．$k=0$ B．$k\gt 1$ 或者 $k\lt -1$ C．$k\gt 1$ 或者 $k=0$ D．$k=0$ 或 $k\gt 1$ 或者 $k\lt -1$
💡 答案解析
D 解：考虑半圆 $y=\sqrt{4-x^{2}}$ 与直线 $y=k x+2$ 的交点，注意半圆的弧顶即直线与 $y$ 轴的交点，故由条件知除点 $(0,2)$ 外半圆与直线不相交，结合图像知 $k$ 的取值范围为 $(-\infty,-1) \cup\{0\} \cup(1,+\infty)$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：将方程转化为几何问题
令 y = √(4-x²) 表示上半圆，y = kx+2 表示过定点(0,2)的直线。原方程实根个数即半圆与直线交点数。
公式：y = √(4-x²), y = kx+2
提示：注意半圆定义域 x∈[-2,2]
步骤 2/7
目标：分析直线过定点
直线 y = kx+2 恒过点 (0,2)，该点恰为半圆的最高点。因此 (0,2) 是一个固定交点。
提示：定点在圆上
步骤 3/7
目标：讨论只有一个实根的条件
只有一个实根意味着除 (0,2) 外无其他交点。即直线与半圆仅相切于 (0,2) 或与半圆无其他交点。
提示：注意相切情况
步骤 4/7
目标：求相切于 (0,2) 的斜率
半圆在 (0,2) 处的切线斜率为 0（水平线），此时 k=0，直线为 y=2，与半圆只有一个交点。
公式：导数或几何性质
提示：切线斜率0
步骤 5/7
目标：求直线与半圆相切于其他点的斜率
设直线与半圆相切，联立方程判别式=0。由 x²+(kx+2)²=4 得 (1+k²)x²+4kx=0，判别式 (4k)²=0 得 k=0，已包含。
公式：Δ=0
提示：注意二次项系数
步骤 6/7
目标：分析无其他交点的斜率范围
当直线斜率绝对值大于1时，直线与半圆仅交于 (0,2) 一点。例如 k>1 或 k<-1，直线更陡，与半圆无其他交点。
提示：画图辅助理解
步骤 7/7
目标：综合得出k的取值范围
综上，k=0 或 |k|>1 时方程只有一个实根。即 k=0 或 k>1 或 k<-1。
提示：注意并集
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