华南理工大学 2022年强基第4题
📝 题目
在 $\triangle A B C$ 中，$\sqrt{3} \cos A=\sqrt{3}-\sin A$ ，求 $A$ 的值 。 A．$\displaystyle \frac{\pi}{6}$ B．$\displaystyle \frac{\pi}{3}$ C．$\displaystyle \frac{2 \pi}{3}$ D．$\displaystyle \frac{\pi}{3}$ 或 $\displaystyle \frac{\pi}{6}$
💡 答案解析
解：注意 $\displaystyle \sin \left(A+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2} \sin A+\frac{\sqrt{3}}{2} \cos A=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，其中 $\displaystyle \left(A+\frac{\pi}{3}\right) \in\left(\frac{\pi}{3}, \frac{4 \pi}{3}\right)$ ，则 $\displaystyle A+\frac{\pi}{3}=\frac{2 \pi}{3}$ ，即 $\displaystyle A=\frac{\pi}{3}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将方程转化为正弦和角公式形式
将方程 √3 cos A = √3 - sin A 移项得 sin A + √3 cos A = √3，两边除以2得 (1/2) sin A + (√3/2) cos A = √3/2。
公式：sin(A+π/3) = sin A cos π/3 + cos A sin π/3 = (1/2) sin A + (√3/2) cos A
提示：注意系数1/2和√3/2对应cos π/3和sin π/3。
步骤 2/4
目标：应用正弦和角公式化简
由和角公式，左边等于 sin(A+π/3)，所以 sin(A+π/3) = √3/2。
公式：sin(A+π/3) = √3/2
提示：直接代入公式即可。
步骤 3/4
目标：确定角度范围
因为A是三角形内角，0 < A < π，所以 A+π/3 ∈ (π/3, 4π/3)。
公式：A ∈ (0, π) ⇒ A+π/3 ∈ (π/3, 4π/3)
提示：注意三角形内角范围。
步骤 4/4
目标：求解角度A
在(π/3, 4π/3)内，正弦值为√3/2的角有π/3和2π/3，但π/3不在区间内，所以A+π/3=2π/3，解得A=π/3。
公式：sin θ = √3/2 ⇒ θ = π/3 或 2π/3（在[0,2π)内）
提示：排除不在区间内的解。
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