华南理工大学 2022年强基第5题
📝 题目
设 $\overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}$ 不共线，$\vec{a}=\overrightarrow{e_{1}}+\lambda \overrightarrow{e_{2}}, \vec{b}=2 \overrightarrow{e_{1}}-\overrightarrow{e_{2}}$ ，若 $\vec{a}, \vec{b}$ 共线，求 $\lambda$ 的值 。 A． 0 B．-1 C．-2 D．$\displaystyle -\frac{1}{2}$
💡 答案解析
解：由 $\vec{a}, \vec{b}$ 共线知，存在不全为 0 的数 $c_{1}, c_{2}$ ，使得 $\overrightarrow{0}=c_{1} \vec{a}+c_{2} \vec{b}=\left(c_{1}+2 c_{2}\right) \vec{e}_{1}+\left(\lambda c_{1}-c_{2}\right) \overrightarrow{e_{2}}$ ，又 $\overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}$ 不共线，则 $\left\{\begin{array}{l}c_{1}+2 c_{2}=0 \\ \lambda c_{1}-c_{2}=0\end{array}\right.$ ，故 $\displaystyle \lambda=-\frac{1}{2}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解共线条件
向量a与b共线意味着存在不全为零的实数c1, c2使得c1a + c2b = 0。
公式：c1a + c2b = 0
提示：共线向量线性相关，系数不全为零。
步骤 2/6
目标：代入向量表达式
将a = e1 + λe2, b = 2e1 - e2代入c1a + c2b = 0，得c1(e1+λe2) + c2(2e1-e2) = 0。
公式：c1(e1+λe2) + c2(2e1-e2) = 0
提示：注意合并同类项。
步骤 3/6
目标：合并同类项
整理得(c1+2c2)e1 + (λc1 - c2)e2 = 0。
公式：(c1+2c2)e1 + (λc1 - c2)e2 = 0
提示：e1和e2的系数分别合并。
步骤 4/6
目标：应用基底不共线条件
由于e1, e2不共线，线性组合为零向量时系数必须全为零，得到方程组。
公式：c1+2c2=0, λc1-c2=0
提示：基底不共线意味着线性无关。
步骤 5/6
目标：解方程组求λ
由c1+2c2=0得c1=-2c2，代入λc1-c2=0得λ(-2c2)-c2=0，即-2λc2-c2=0，c2(2λ+1)=0。
公式：c2(2λ+1)=0
提示：c2不全为零，故2λ+1=0。
步骤 6/6
目标：得出λ的值
由2λ+1=0解得λ=-1/2。
公式：λ = -1/2
提示：注意负号。
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