华南理工大学 2022年强基第6题
📝 题目
设 $x, y\gt 0$ ，且 $\displaystyle \frac{2}{x}+\frac{8}{y}=1$ ，求 $x y$ 的最值 。 A．最大 64 B．最小 64 C．最大 $\displaystyle \frac{1}{64}$ D．最小 $\displaystyle \frac{1}{64}$
💡 答案解析
解：一方面，由基本不等式知，$x y=2 y+8 x \geq 2 \sqrt{2 y \cdot 8 x}=8 \sqrt{x y}$ ，则 $x y \geq 64$ ，且当 $x=4, y=16$时可取等号；另一方面，记 $\displaystyle y=\frac{8}{t}(0\lt t\lt 1)$ ，则 $\displaystyle x=\frac{2}{1-t}$ ，故 $\displaystyle x y=\frac{16}{t(1-t)} \rightarrow+\infty\left(t \rightarrow 0^{+}\right.$或 $\left.t \rightarrow 1^{-}\right)$，故 $x y$ 无最大值。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用基本不等式求xy的最小值
由条件得xy=2y+8x，应用基本不等式得2y+8x≥2√(2y·8x)=8√(xy)，即xy≥8√(xy)，两边除以√(xy)得√(xy)≥8，故xy≥64。
公式：基本不等式：a+b≥2√(ab) (a,b>0)
提示：注意等号成立条件：2y=8x，结合条件可解得x=4,y=16。
步骤 2/5
目标：验证最小值可取到
当x=4,y=16时，满足2/4+8/16=0.5+0.5=1，且xy=64，因此最小值64可以取到。
步骤 3/5
目标：分析xy是否有最大值
考虑极限情况：令y→0+，由条件得2/x≈1，x≈2，则xy≈0；但需更严格分析。采用参数化：设y=8/t，其中0
提示：参数化是为了将xy表示为单变量函数。
步骤 4/5
目标：讨论xy的取值趋势
当t→0+时，xy=16/[t(1-t)]→+∞；当t→1-时，xy→+∞。因此xy可以任意大，无最大值。
提示：注意t的范围：由y>0得t>0，由x>0得1-t>0即t<1。
步骤 5/5
目标：得出结论
xy有最小值64，无最大值。故选B。
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