华南理工大学 2022年强基第7题
📝 题目
设直线 $l: y=-x+m$ 与圆 $C: x^{2}+y^{2}=1$ 在第一象限有交点，求 $m$ 的取值范围 。 A． $1 \leq m \leq \sqrt{2}$ B． $0\lt m\lt \sqrt{2}$ C． $1\lt m\lt \sqrt{2}$ D．$-\sqrt{2}\lt m\lt \sqrt{2}$
💡 答案解析
解：注意 $m$ 的几何意义为直线 $l$ 的纵截距，结合图像知直线 $l$ 与圆 $C$ 的交点可为圆 $C$ 在第一象限中的任意一点，即 $m$ 的取值范围为 $(1, \sqrt{2}]$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解题意，明确条件
直线l: y=-x+m与圆C: x^2+y^2=1在第一象限有交点，即存在点(x,y)满足x>0, y>0，且在直线和圆上。
公式：x^2+y^2=1, y=-x+m
提示：第一象限要求x>0, y>0。
步骤 2/6
目标：联立方程，消去y
将y=-x+m代入圆方程得x^2+(-x+m)^2=1，化简得2x^2-2mx+m^2-1=0。
公式：2x^2-2mx+m^2-1=0
提示：注意二次项系数不为0。
步骤 3/6
目标：确定交点存在的条件
方程有实根，判别式Δ=(-2m)^2-4*2*(m^2-1)=4m^2-8m^2+8=8-4m^2≥0，解得|m|≤√2。
公式：Δ=8-4m^2≥0 ⇒ m^2≤2 ⇒ |m|≤√2
提示：判别式非负保证有交点。
步骤 4/6
目标：考虑第一象限约束
交点在第一象限，即x>0, y>0。由y=-x+m>0得m>x>0，故m>0。结合|m|≤√2得0
公式：y>0 ⇒ m>x>0 ⇒ m>0
提示：注意x>0自动满足？需进一步分析。
步骤 5/6
目标：进一步分析x>0的条件
方程2x^2-2mx+m^2-1=0的两根之和为m，积为(m^2-1)/2。要存在正根，需满足：m>0且(m^2-1)/2>0或m>0且(m^2-1)/2≤0但判别式非负。
公式：x1+x2=m, x1x2=(m^2-1)/2
提示：韦达定理用于判断根的正负。
步骤 6/6
目标：综合条件得出m范围
由x>0, y>0，结合图像，直线与圆在第一象限有交点时，m从1（相切于(0,1)）到√2（相切于(√2/2,√2/2)），但m=1时交点为(0,1)在y轴上，不属于第一象限（x=0），故m>1。最终m∈(1,√2]。
公式：m∈(1,√2]
提示：注意边界点是否属于第一象限。
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