华南理工大学 2022年强基第10题
📝 题目
设 $f: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 为二元函数，满足 $f(x, y)=9 x^{2}+5 y^{2}+24 x-14 y-12 x y+24$ ，求 $f$ 的最小值 。 A． 4 B． 5 C． 6 D． 7
💡 答案解析
解：配方知 $f(x, y)=(3 x)^{2}+4(2-y)(3 x)+\left(5 y^{2}-14 y+24\right)$ ，先将 $f(x, y)$ 视为关于 $3 x$ 的二次函数，则当 $3 x=2(y-2)$ 时，$f(\cdot, y)_{\text {min }}=(y+1)^{2}+7$ ，再将 $f(\cdot, y)_{\text {min }}$ 视为关于 $y$ 的二次函数，则当 $y=-1$ 时，$f_{\text {min }}=7$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将f(x,y)整理成关于3x的二次函数形式
将f(x,y)=9x^2+5y^2+24x-14y-12xy+24重新组合，得到f(x,y)=(3x)^2 + (24-12y)x + (5y^2-14y+24)。注意24x-12xy=12x(2-y)，但为了配方，写成关于3x的形式：f(x,y)=(3x)^2 + 4(2-y)(3x) + (5y^2-14y+24)。
公式：f(x,y) = (3x)^2 + 4(2-y)(3x) + (5y^2-14y+24)
提示：将3x视为变量，y视为参数，便于后续配方。
步骤 2/3
目标：对3x进行配方，求出关于y的最小值表达式
将f(x,y)视为关于3x的二次函数，其对称轴为3x = -4(2-y)/2 = 2(y-2)。代入得最小值：f_min(y) = [4(2-y)^2]/4? 实际上，二次函数最小值公式：当3x=2(y-2)时，f_min(y) = (5y^2-14y+24) - [4(2-y)]^2/4 = (5y^2-14y+24) - 4(2-y)^2。化简得f_min(y)=y^2+2y+8=(y+1)^2+7。
公式：f_min(y) = (y+1)^2 + 7
提示：注意二次函数最小值公式：对于a(3x)^2+b(3x)+c，当3x=-b/(2a)时，最小值为c-b^2/(4a)。
步骤 3/3
目标：对y进行配方，求出全局最小值
将f_min(y)=(y+1)^2+7视为关于y的二次函数，其最小值为当y=-1时取得，最小值为7。因此f(x,y)的最小值为7。
公式：f_min = 7
提示：注意(y+1)^2≥0，所以最小值为7。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。