华南理工大学 2022年强基第11题
📝 题目
设抛物线 $y^{2}=2 x$ 上两点 $A, B$ 满足 $\overline{O A} \perp \overline{O B}$ 且 $\overline{A B} \perp x$ 轴，求 $S_{\triangle O A B}=$
💡 答案解析
解：由 $A, B$ 均在抛物线上且 $\overrightarrow{A B} \perp x$ 轴知，$A, B$ 关于 $x$ 轴对称，坐标分别为 $(a, \pm \sqrt{2 a})$ ；又 $\overrightarrow{O A} \perp \overrightarrow{O B}$ ，即 $k_{O A} \cdot k_{O B}=-1$ ，则 $a=2$ ，因此 $\displaystyle S_{\triangle O A B}=\frac{1}{2} \times 2 \times 4=4$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：设A、B坐标
由于AB垂直于x轴，且A、B在抛物线上，故A、B关于x轴对称。设A(a, √(2a))，B(a, -√(2a))，其中a>0。
公式：y²=2x
提示：利用对称性简化坐标
步骤 2/3
目标：利用垂直条件列方程
由OA⊥OB得斜率乘积为-1：k_OA·k_OB = (√(2a)/a)·(-√(2a)/a) = -2a/a² = -2/a = -1，解得a=2。
公式：k1·k2=-1
提示：注意a>0
步骤 3/3
目标：计算三角形面积
A(2,2)，B(2,-2)，底边AB长4，高为O到AB的距离即横坐标2，面积S=1/2×4×2=4。
公式：S=1/2×底×高
提示：底为AB长度，高为O到AB的距离
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