中山大学 2023年强基第2题
📝 题目
求证： $7 \nmid 2^{n}+1, n \in \mathbb{N}^{*}$ 。
💡 答案解析
【解析】注意到 $2^{3} \equiv 1(\bmod 7) \Rightarrow 2^{n} \equiv 2^{0}, 2^{1}, 2^{2} \equiv 1,2,4(\bmod 4), \forall n \in \mathbb{N}^{*}$ ，故 $7 \nmid 2^{n}+1$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析模7下2的幂的周期性
计算2^1=2，2^2=4，2^3=8≡1(mod 7)，因此2^n模7的周期为3。
公式：2^3 ≡ 1 (mod 7)
提示：注意模运算的周期性
步骤 2/4
目标：列举n模3的所有可能情况
n∈N*，n模3余0、1、2。对应2^n模7的值分别为1、2、4。
公式：2^n ≡ 2^(n mod 3) (mod 7)
提示：利用周期简化计算
步骤 3/4
目标：计算2^n+1模7的值
当n≡0时，2^n+1≡1+1=2；n≡1时，2+1=3；n≡2时，4+1=5。均不为0 mod 7。
公式：2^n+1 ≡ 2,3,5 (mod 7)
提示：分别代入余数
步骤 4/4
目标：得出结论
2^n+1模7的值恒为2、3、5，不为0，故7不能整除2^n+1。
公式：7 ∤ 2^n+1
提示：整除等价于模0
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