中山大学 2023年强基第3题
📝 题目
解方程： $\cos ^{2} x+\cos ^{2} 2 x+\cos ^{2} 3 x=1$ 。
💡 答案解析
【解析】利用二倍角公式知 $\cos 2 x+\cos 4 x+\cos 6 x=2 \cdot 1-3=-1$ ，而利用和差化积知 $\displaystyle -1=\cos 2 x+\cos 4 x+\cos 6 x=\frac{\sin 3 x-\sin x+\sin 5 x-\sin 3 x+\sin 7 x-\sin 5 x}{2 \sin x} \Rightarrow \sin 7 x+ \sin x=0 \Rightarrow \sin 4 x \cos 3 x=0 \Rightarrow 4 x=k \pi$ 或 $\displaystyle 3 x=k \pi+\frac{\pi}{2}$ ，即 $\displaystyle x=\frac{k \pi}{4}$ 或 $\displaystyle x=\left(\frac{k}{3}+\frac{1}{6}\right) \pi$ ，其中 $k \in \mathbb{Z}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用二倍角公式化简方程
由二倍角公式 cos²x = (1+cos2x)/2，代入原方程得 (1+cos2x)/2 + (1+cos4x)/2 + (1+cos6x)/2 = 1，化简得 cos2x+cos4x+cos6x = -1。
公式：cos²x = (1+cos2x)/2
提示：注意二倍角公式的逆用。
步骤 2/4
目标：利用和差化积公式化简左边
将 cos2x+cos4x+cos6x 乘以 2sinx 再除以 2sinx，利用积化和差：2sinx cos2x = sin3x - sinx，类似可得分子为 sin7x - sinx，故原式 = (sin7x - sinx)/(2sinx) = -1。
公式：2sinα cosβ = sin(α+β) + sin(α-β)
提示：注意分母 sinx 不为0，需单独考虑 sinx=0 的情况。
步骤 3/4
目标：化简得到三角方程
由 (sin7x - sinx)/(2sinx) = -1 得 sin7x - sinx = -2sinx，即 sin7x + sinx = 0。利用和差化积得 2sin4x cos3x = 0。
公式：sinA + sinB = 2sin((A+B)/2) cos((A-B)/2)
提示：注意 sin7x+sinx = 2sin4x cos3x。
步骤 4/4
目标：求解方程 sin4x cos3x = 0
由 sin4x=0 得 4x = kπ，即 x = kπ/4；由 cos3x=0 得 3x = kπ + π/2，即 x = (k/3 + 1/6)π。需检验 sinx=0 的情况，代入原方程成立，故解包含在内。
公式：sinθ=0 ⇒ θ=kπ；cosθ=0 ⇒ θ=kπ+π/2
提示：k为整数，注意合并解集。
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