中山大学 2023年强基第4题
📝 题目
解不等式：$\displaystyle \frac{4 x^{2}}{(1-\sqrt{1+2 x})^{2}}\lt 2 x+9$ 。
💡 答案解析
【解析】注意到 $\displaystyle \frac{2 x}{\sqrt{1+2 x}-1}=\sqrt{1+2 x}+1$ ，所以原式等价于 $\displaystyle (\sqrt{1+2 x}+1)^{2}\lt 2 x+9 \Rightarrow 2 \sqrt{1+2 x}\lt 7 \Rightarrow 0 \leq 1+2 x\lt \frac{7}{2} \Rightarrow-\frac{1}{2} \leq x\lt \frac{5}{4}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：化简原不等式左边分母
注意到分母为(1-√(1+2x))^2，分子为4x^2，考虑将分子分母同乘以(1+√(1+2x))^2进行有理化，但更直接的是利用恒等式：4x^2/(1-√(1+2x))^2 = (2x/(√(1+2x)-1))^2，而2x/(√(1+2x)-1) = √(1+2x)+1。
公式：2x/(√(1+2x)-1) = √(1+2x)+1
提示：注意定义域：1+2x≥0，且分母不为0，即1-√(1+2x)≠0，故x≠0。
步骤 2/4
目标：将原不等式转化为关于√(1+2x)的不等式
由第一步，原不等式化为(√(1+2x)+1)^2 < 2x+9。展开左边得1+2x+2√(1+2x)+1 = 2x+2+2√(1+2x)，所以不等式变为2x+2+2√(1+2x) < 2x+9。
公式：(√(1+2x)+1)^2 = 2x+2+2√(1+2x)
提示：两边同时减去2x，简化不等式。
步骤 3/4
目标：化简不等式并求解
两边减去2x得2+2√(1+2x) < 9，即2√(1+2x) < 7，所以√(1+2x) < 7/2。由于√(1+2x)≥0，故0 ≤ √(1+2x) < 7/2，平方得0 ≤ 1+2x < 49/4。
公式：√(1+2x) < 7/2 ⇒ 0 ≤ 1+2x < 49/4
提示：注意平方时保持非负性。
步骤 4/4
目标：解出x的范围并考虑定义域
由0 ≤ 1+2x < 49/4得-1/2 ≤ x < 45/8。但还需考虑原不等式定义域：1+2x≥0即x≥-1/2，且x≠0（分母不为0）。注意x=0时，左边=0，右边=9，不等式成立，但原式分母为0，故x=0不在定义域内。所以最终解集为[-1/2,0)∪(0,45/8)。
提示：检查x=0是否满足定义域，排除。
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