深圳北理莫斯科大学 2023年强基第1题
📝 题目
已知 $m, n \in Z$ ，满足 $m n+m+8 n=34$ ，求 $m^{2}+n^{2}$ 的最大值和最小值。
💡 答案解析
【解析】原条件转化为 $(m+8)(n+1)=42$ ，经过枚举容易发现 $26=(-1)^{2}+5^{2} \leq m^{2}+n^{2} \leq(-50)^{2}+(-2)^{2}=2504$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将原方程转化为因式分解形式
原方程 mn + m + 8n = 34，两边同时加8得 mn + m + 8n + 8 = 42，即 (m+8)(n+1) = 42。
公式：(m+8)(n+1)=42
提示：注意常数项配凑，使左边能因式分解。
步骤 2/5
目标：列出所有整数因子对
42的因子对：(1,42), (2,21), (3,14), (6,7), (-1,-42), (-2,-21), (-3,-14), (-6,-7)，以及交换顺序的对应。
公式：42 = a × b，其中 a = m+8, b = n+1
提示：因子对包括正负，且顺序不同对应不同(m,n)。
步骤 3/5
目标：求解所有可能的整数对 (m, n)
由 m+8 = a, n+1 = b，得 m = a-8, n = b-1。代入所有因子对，得到所有整数解。
公式：m = a-8, n = b-1
提示：注意a和b均为整数，且为42的因子。
步骤 4/5
目标：计算每个解对应的 m² + n² 值
例如 (a,b)=(1,42) 得 m=-7, n=41，m²+n²=49+1681=1730；类似计算所有解。
公式：m² + n²
提示：枚举所有解，避免遗漏。
步骤 5/5
目标：找出 m² + n² 的最小值和最大值
比较所有值，最小值为26（对应m=-1, n=5或m=5, n=-1），最大值为2504（对应m=-50, n=-2或m=-2, n=-50）。
公式：最小值26，最大值2504
提示：注意对称性，检查所有解。
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