深圳北理莫斯科大学 2023年强基第2题

【解析】 注意到 $\angle A P L=\angle L Q C=\angle A B C$ ，且 $\triangle A P L 、 \triangle L Q C$ 都是等腰三角形，所以 $\triangle A P L \sim \triangle L Q C$ 。进而，$\displaystyle \frac{P L}{Q L}=\frac{A L}{L C}=\frac{A B}{A C}$ 。又注意到 $\displaystyle \angle P B Q=\angle P B L+\angle Q B L=\frac{\pi}{2}-A +\frac{\pi}{2}-C=B$ ，所以 $\triangle P B Q \sim \triangle A B C$ 。又 $\displaystyle \left(\frac{B P}{A B}\right)^{2}=\frac{S_{\triangle B P Q}}{S_{\triangle A B C}}=\frac{1}{2} \cdot \frac{S_{B P L Q}}{S_{\triangle A B C}}=\frac{1}{3}$ 。所以考察 $\triangle B P A$ 便知 $\angle B P L=120^{\circ}$ ，故 $\displaystyle \angle B L A=\frac{\angle B P A}{2}=60^{\circ}$ ，也就是直线 $B L$ 与 $A C$ 的夹角。