香港中文大学（深圳） 2023年强基第1题
📝 题目
已知圆 $x^{2}+y^{2}=144$ ，点 $S\left(a^{5}-a, b^{5}-b\right)$ ，其中 $a, b \in Z$ ，则 。 A．存在 $a, b \in Z$ ，使得 $S$ 在圆内 B．存在 $a, b \in Z$ ，使得 $S$ 在圆上 C．存在无穷组 $a, b \in Z$ ，使得 $S$ 在圆外且 $S$ 关于圆的切点弦所在的直线过整点 D．存在一组 $a, b \in Z$ ，使得 $S$ 在圆外且 $S$ 关于圆的切点弦所在直线过整点
💡 答案解析
A【解析】当 $a=b=0$ 时，$S(0,0)$ 在圆内，$A$ 对。由 $x^{5}-x$ 在整数点的单调性知能让 $S$ 点的横纵坐标绝对值不超过 12 的 $x$ 只有 $-1,0,1$ ，那容易验证它们的组合无法让 $S$ 在圆上，故 $B$ 错。而 $S$ 关于圆的切点弦方程为 $\left(a^{5}-a\right) x+\left(b^{5}-b\right) y=144$ 。若该直线过整点，则由费马小定理知 $5 \mid a^{5}-a$ ， $5 \mid b^{5}-b$ ，从而 $5 \mid 144$ 但这是不可能的，故 $C D$ 错。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：判断选项A：是否存在整数a,b使S在圆内
取a=b=0，则S(0,0)，代入圆方程得0<144，故S在圆内，A正确。
公式：x^2+y^2<144
提示：尝试特殊值，如a=b=0。
步骤 2/4
目标：判断选项B：是否存在整数a,b使S在圆上
由x^5-x在整数点单调，绝对值不超过12的x只有-1,0,1。验证所有组合，S坐标绝对值均小于12，无法使x^2+y^2=144，故B错误。
公式：x^5-x的单调性
提示：考虑x^5-x在整数点取值，只有-1,0,1时绝对值小。
步骤 3/4
目标：推导S关于圆的切点弦方程
S在圆外时，切点弦方程为(a^5-a)x+(b^5-b)y=144。
公式：(x0)x+(y0)y=r^2
提示：切点弦方程公式：过圆外一点(x0,y0)的切点弦为x0 x+y0 y=r^2。
步骤 4/4
目标：判断选项C和D：切点弦直线是否过整点
若直线过整点，则存在整数x,y满足方程。由费马小定理，5|a^5-a，5|b^5-b，故左边是5的倍数，右边144不是5的倍数，矛盾。故C和D均错误。
公式：费马小定理：p|a^p-a
提示：注意5整除性，144不能被5整除。
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