香港中文大学（深圳） 2023年强基第2题
📝 题目
已知 $\displaystyle \frac{x}{\sin ^{2} 72^{\circ}+2024}+\frac{y}{\sin ^{2} 72^{\circ}-2023}=1, \frac{x}{\sin ^{2} 18^{\circ}+2024}+\frac{y}{\sin ^{2} 18^{\circ}-2023}=1$ ，求 $x+y$ 的值。
💡 答案解析
【解析】我们分别记四个分母为 $a, b, c, d$ ，则考虑第一个式子乘 $\displaystyle \frac{1}{d}-\frac{1}{c}$ 并加上第二个式子乘 $\displaystyle \frac{1}{a}-\frac{1}{b}$得到的式子右端为 $\displaystyle \frac{1}{d}-\frac{1}{c}+\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{a+d}{a d}-\frac{b+c}{b c}$ 。但注意到 $a+d=b+c=\sin ^{2} 72^{\circ}+2024+\sin ^{2} 18^{\circ}-2023=2$ ，故右端就转化为 $\displaystyle 2\left(\frac{1}{a d}-\frac{1}{b c}\right)$ 。 另一方面，容易验证此时式子左端为 $\displaystyle \left(\frac{1}{a d}-\frac{1}{b c}\right)(x+y)$ ，故左端右端比较得 $x+y=2$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设分母为变量
令 a = sin²72° + 2024, b = sin²72° - 2023, c = sin²18° + 2024, d = sin²18° - 2023。
提示：简化符号便于运算
步骤 2/6
目标：观察分母关系
计算 a + d = sin²72° + 2024 + sin²18° - 2023 = 2，同理 b + c = 2。
公式：sin²72° + sin²18° = 1
提示：利用互余角正弦平方和为1
步骤 3/6
目标：构造线性组合消去x和y
将第一个方程乘以(1/d - 1/c)，第二个方程乘以(1/a - 1/b)，然后相加。
提示：目的是使x和y的系数相同
步骤 4/6
目标：计算左边
左边 = x(1/(ad) - 1/(bc)) + y(1/(ad) - 1/(bc)) = (x+y)(1/(ad) - 1/(bc))。
提示：注意系数合并
步骤 5/6
目标：计算右边
右边 = (1/d - 1/c) + (1/a - 1/b) = (a+d)/(ad) - (b+c)/(bc) = 2/(ad) - 2/(bc) = 2(1/(ad) - 1/(bc))。
公式：a+d = b+c = 2
提示：利用第一步的关系
步骤 6/6
目标：比较两边得结果
由左边等于右边得 (x+y)(1/(ad) - 1/(bc)) = 2(1/(ad) - 1/(bc))，故 x+y = 2。
提示：注意1/(ad) - 1/(bc)非零
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