香港中文大学（深圳） 2023年强基第3题
📝 题目
数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n+1}=a_{n} a_{n+1}+a_{n}+1$ ，且 $a_{1}=1+\sqrt{2}-\sqrt{3}$ ，求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 前2024项的积。
💡 答案解析
【解析】我们记 $a_{n}=\tan b_{n}$ ，则条件转化为 $\displaystyle \tan \left(b_{n+1}-b_{n}\right)=\frac{\tan b_{n+1}-\tan b_{n}}{1+\tan b_{n+1} \tan b_{n}}=\frac{a_{n+1}-a_{n}}{1+a_{n+1} a_{n}}$ 从而 $\displaystyle \tan \left(b_{n+1}-b_{n}\right)=1 \Rightarrow b_{n+1}-b_{n}=\frac{\pi}{4}$ 。注意到 $\displaystyle \tan (x+\pi)=\tan x, \tan \left(x+\frac{\pi}{2}\right)=-\frac{1}{\tan x}$ 故 $a_{n-4}=a_{n}, a_{n} a_{n+2}=-1$ 。从而 4 个为一组，每组的乘积为 $(-1)^{2}=1$ ，恰好前 2024 项分为 506 组，故全部乘积为 1 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：引入正切代换
设 a_n = tan b_n，代入递推式，利用正切差角公式化简。
公式：tan(α-β) = (tanα - tanβ)/(1+tanα tanβ)
提示：注意递推式结构类似正切差角公式的分母形式。
步骤 2/5
目标：推导角度递推关系
由递推式得 tan(b_{n+1} - b_n) = 1，故 b_{n+1} - b_n = π/4 + kπ，取主值k=0。
公式：tan(b_{n+1} - b_n) = (a_{n+1} - a_n)/(1 + a_{n+1}a_n) = 1
提示：正切值为1对应角度π/4的整数倍。
步骤 3/5
目标：确定数列周期性
由b_n等差，得a_n = tan(b_1 + (n-1)π/4)。利用正切周期性：tan(x+π)=tan x，tan(x+π/2)=-1/tan x，推出a_{n+4}=a_n，且a_n a_{n+2}=-1。
公式：a_{n+4}=a_n, a_n a_{n+2}=-1
提示：周期为4，且相隔两项乘积为-1。
步骤 4/5
目标：计算每组乘积
每连续4项为一组：a_k a_{k+1} a_{k+2} a_{k+3} = (a_k a_{k+2})(a_{k+1} a_{k+3}) = (-1)*(-1)=1。
公式：a_k a_{k+2} = -1, a_{k+1} a_{k+3} = -1
提示：利用周期性和乘积性质。
步骤 5/5
目标：求前2024项积
2024项共506组，每组乘积为1，故总积为1^506=1。
公式：2024/4=506
提示：注意项数能被4整除。
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