香港中文大学（深圳） 2023年强基第4题
📝 题目
已知 $x, y \in R$ ，满足 $5 x^{2} y^{2}+y^{4}=1$ ，求 $x^{2}+y^{2}$ 的最小值。
💡 答案解析
【解析】 $\displaystyle y^{2}\left(5 x^{2}+y^{2}\right)=1 \Rightarrow 4=\left(5 x^{2}+y^{2}\right) 4 y^{2} \leq\left(\frac{5 x^{2}+y^{2}+4 y^{2}}{2}\right)^{2} \Rightarrow 2 \leq \frac{5}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)$ 故 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \geq \frac{4}{5}$ ，取等条件为 $\displaystyle x^{2}=\frac{3}{10}, y^{2}=\frac{1}{2}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将已知条件变形为乘积形式
由 $5x^2y^2 + y^4 = 1$，提取公因式 $y^2$ 得 $y^2(5x^2 + y^2) = 1$。
公式：$y^2(5x^2 + y^2) = 1$
提示：注意提取公因式时，$y^4 = y^2 \cdot y^2$。
步骤 2/4
目标：引入常数4并构造不等式
将等式两边乘以4：$4 = 4y^2(5x^2 + y^2)$。利用基本不等式 $ab \leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$，令 $a = 5x^2 + y^2$，$b = 4y^2$，得 $4 \leq \left(\frac{5x^2 + y^2 + 4y^2}{2}\right)^2$。
公式：$ab \leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$
提示：构造 $4y^2$ 是为了使 $a+b$ 中出现 $x^2+y^2$。
步骤 3/4
目标：化简不等式得到 $x^2+y^2$ 的下界
由 $4 \leq \left(\frac{5x^2 + 5y^2}{2}\right)^2 = \left(\frac{5(x^2+y^2)}{2}\right)^2$，两边开方得 $2 \leq \frac{5}{2}(x^2+y^2)$，即 $x^2+y^2 \geq \frac{4}{5}$。
公式：$2 \leq \frac{5}{2}(x^2+y^2)$
提示：开方时注意正数，取算术平方根。
步骤 4/4
目标：验证等号成立条件
等号成立当 $5x^2+y^2 = 4y^2$，即 $5x^2 = 3y^2$。代入原方程 $y^2(5x^2+y^2)=1$ 得 $y^2(3y^2+y^2)=4y^4=1$，解得 $y^2=\frac{1}{2}$，$x^2=\frac{3}{10}$。
公式：$5x^2 = 3y^2$
提示：验证等号条件确保最小值可达。
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