香港中文大学（深圳） 2023年强基第5题
📝 题目
设函数 $f(x)=a x^{2}+b x+c$ 的零点为 $m, n$ ，且 $m\lt n$ ，若函数 $f(x)+f^{\prime}(x)$ 的零点为 $p, q$ ，且 $p\lt q$ ，则 。 A．当 $a\gt 0$ 时，$p\lt m\lt q\lt n$ ，当 $a\lt 0$ 时，$m\lt p\lt n\lt q$ B．当 $a\lt 0$ 时，$p\lt m\lt q\lt n$ ，当 $a\gt 0$ 时，$m\lt p\lt n\lt q$ C．$p\lt m\lt q\lt n$ D．$m\lt p\lt n\lt q$
💡 答案解析
C【解析】用排除法，注意到 $f(x)+f^{\prime}(x)=a x^{2}+(2 a+b) x+b+c$ ，所以由韦达定理知， $\displaystyle m+n=-\frac{b}{a}, \quad p+q=-\frac{2 a+b}{a}=(m+n)-2\lt m+n$ 。因此一定不会出现 $m\lt p\lt n\lt q$ ，故由排除法知选 $C$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出f(x)和f'(x)的表达式
已知f(x)=ax^2+bx+c，则f'(x)=2ax+b。
公式：f'(x)=2ax+b
提示：注意导数公式
步骤 2/6
目标：写出f(x)+f'(x)的表达式
f(x)+f'(x)=ax^2+bx+c+2ax+b=ax^2+(2a+b)x+(b+c)。
公式：f(x)+f'(x)=ax^2+(2a+b)x+(b+c)
提示：合并同类项
步骤 3/6
目标：利用韦达定理表示m+n和p+q
由韦达定理，m+n=-b/a，p+q=-(2a+b)/a = -2 - b/a = (m+n)-2。
公式：m+n=-b/a, p+q=(m+n)-2
提示：注意p+q比m+n小2
步骤 4/6
目标：比较p+q与m+n的大小关系
因为p+q = (m+n)-2，所以p+q < m+n，即p和q的平均值小于m和n的平均值。
公式：p+q < m+n
提示：平均值比较
步骤 5/6
目标：分析零点顺序的可能性
由于p+q < m+n，且m m+n，矛盾。因此只能是p
提示：利用不等式排除
步骤 6/6
目标：得出结论
无论a的正负，都有p
提示：排除法
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。