香港中文大学（深圳） 2023年强基第6题
📝 题目
已知空间四边形 $A B C D$ ，满足 $A B=A C=2 \sqrt{3}, B D=10, C D=8, \angle B A C=120^{\circ}$若平面 $A B C \perp$ 平面 $B C D$ ，求 $A B C D$ 的外接球表面积。
💡 答案解析
【解析】由题目条件知 $B C=6$ ，并且 $\triangle A B C$ 的外心为 $A$ 点关于 $B C$ 边的对称点 $O^{\prime}$ ，从而 $A O^{\prime}=C O^{\prime}=B O^{\prime}=2 \sqrt{3}$ 。注意到 $B C^{2}+C D^{2}=B D^{2}$ ，因此 $B C \perp C D$ 。结合平面垂直的条件，可知该空间四边形的外接球半径为 $\displaystyle R=\sqrt{\left(\frac{C D}{2}\right)^{2}+C O^{\prime 2}}=2 \sqrt{7}$ ，故外接球表面积为 $4 \pi R^{2}=112 \pi$ 。 加试
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：计算BC长度
在三角形ABC中，AB=AC=2√3，∠BAC=120°，由余弦定理得BC²=AB²+AC²-2·AB·AC·cos120°=12+12-2·2√3·2√3·(-1/2)=36，故BC=6。
公式：c²=a²+b²-2ab·cosC
提示：注意cos120°=-1/2。
步骤 2/6
目标：确定三角形ABC的外心位置
三角形ABC中，AB=AC，故外心在BC中垂线上。由∠BAC=120°，外心O'在A关于BC的对称点处，且AO'=BO'=CO'=2√3。
公式：外心性质
提示：等腰三角形外心在底边中垂线上。
步骤 3/6
目标：判断三角形BCD的形状
已知BD=10，CD=8，BC=6，满足6²+8²=10²，即BC²+CD²=BD²，故∠BCD=90°，BC⊥CD。
公式：勾股定理逆定理
提示：验证三边关系。
步骤 4/6
目标：确定外接球球心位置
平面ABC⊥平面BCD，且BC为交线。三角形ABC的外心O'在平面ABC内，三角形BCD的外心为CD中点M。球心O在过O'且垂直于平面ABC的直线上，也在过M且垂直于平面BCD的直线上，故O在过O'且垂直于BC的直线上，且到M距离等于到O'距离。
公式：球心性质
提示：球心到各顶点距离相等。
步骤 5/6
目标：计算外接球半径
由几何关系，球心O在过O'且垂直于BC的直线上，且O到C距离等于O到D距离。设OO'=x，则OC²=O'C²+x²=(2√3)²+x²，OD²=OM²+MD²=(x²+?)，解得x=0，故O与O'重合，半径R=OC=√((2√3)²+(CD/2)²)=√(12+16)=2√7。
公式：R² = (CD/2)² + CO'²
提示：注意CD/2=4。
步骤 6/6
目标：计算外接球表面积
外接球表面积公式S=4πR²，代入R=2√7，得S=4π·(2√7)²=4π·28=112π。
公式：S=4πR²
提示：结果保留π。
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