香港中文大学（深圳） 2022年强基第1题
📝 题目
在集合 $\left\{a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right\}$ 中，任意三个的积除以另外一个为 1 ，则 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 的和可能为多少？
💡 答案解析
解：该条件等价于 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4} \neq 0$ 且 $a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}=a_{1}^{2}=a_{2}^{2}=a_{3}^{2}=a_{4}^{2}$ ，即 $\left|a_{1}\right|=\left|a_{2}\right|=\left|a_{3}\right|=\left|a_{4}\right|=1$ ，故 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 的和可能为 $0, \pm 2, \pm 4$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题意并转化条件
任意三个数的积除以另一个数为1，即对于任意i，有∏_{j≠i} a_j / a_i = 1，等价于∏_{j≠i} a_j = a_i。
公式：∏_{j≠i} a_j = a_i
提示：注意除数不能为0，所以所有a_i非零。
步骤 2/5
目标：推导乘积关系
将四个等式相乘得 (a1 a2 a3 a4)^3 = a1 a2 a3 a4，故 a1 a2 a3 a4 = 1（因为非零）。
公式：(a1 a2 a3 a4)^3 = a1 a2 a3 a4 ⇒ a1 a2 a3 a4 = 1
提示：注意非零条件，两边除以公因子。
步骤 3/5
目标：得到每个数的平方关系
由∏_{j≠i} a_j = a_i 和总积为1，得 a_i^2 = 1，即 |a_i| = 1。
公式：a_i^2 = 1 ⇒ |a_i| = 1
提示：利用总积为1代入每个等式。
步骤 4/5
目标：确定每个数的可能取值
每个a_i只能是1或-1，因为实数范围内平方等于1的数只有±1。
公式：a_i ∈ {1, -1}
提示：注意题目未指定数域，通常为实数。
步骤 5/5
目标：计算所有可能的和
四个数均为±1，和可能为4（全1）、2（三个1一个-1）、0（两个1两个-1）、-2（一个1三个-1）、-4（全-1）。
公式：和 = 4, 2, 0, -2, -4
提示：注意对称性，所有可能和均出现。
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