香港中文大学（深圳） 2022年强基第2题
📝 题目
设 $\displaystyle |z-1| \leq \frac{1}{2},|w-1| \leq \frac{1}{2}$ ，求 $\displaystyle \frac{|z+w|}{|z w|}$ 的最小值。
💡 答案解析
解：直接计算知，条件 $\displaystyle |z-1| \leq \frac{1}{2}$ 等价于 $\displaystyle \left|\frac{1}{z}-1\right| \leq \frac{1}{2}\left|\frac{1}{z}\right|$ ，也等价于 $\displaystyle \left|\frac{1}{z}-\frac{4}{3}\right| \leq \frac{2}{3}$ ，即 $\displaystyle \frac{1}{z}$可视为终点在以 $\displaystyle \left(\frac{4}{3}, 0\right)$ 为圆心，$\displaystyle \frac{2}{3}$ 为半径的圆上的向量，同理 $\displaystyle \frac{1}{w}$ 也可视为终点在以 $\displaystyle \left(\frac{4}{3}, 0\right)$ 为圆心， $\displaystyle \frac{2}{3}$ 为半径的圆上的向量，于是 $\displaystyle \frac{|z+w|}{|z w|}=\left|\frac{1}{z}+\frac{1}{w}\right| \geq 2 \times\left(\frac{4}{3}-\frac{2}{3}\right)=\frac{4}{3}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：转化条件|z-1|≤1/2为关于1/z的不等式
由|z-1|≤1/2，两边除以|z|得|1-1/z|≤1/(2|z|)，即|1/z-1|≤1/(2|z|)。
公式：|z-1|≤1/2 ⇒ |1/z-1|≤1/(2|z|)
提示：利用复数模的性质：|z-1|/|z| = |1-1/z|
步骤 2/5
目标：进一步化简为圆盘形式
设u=1/z，则|u-1|≤|u|/2。平方得(u-1)(\bar{u}-1)≤u\bar{u}/4，整理得3|u|^2-8Re(u)+4≤0，配方得|u-4/3|≤2/3。
公式：|u-4/3|≤2/3
提示：配方时注意实部Re(u)的系数
步骤 3/5
目标：同理处理w
同理，由|w-1|≤1/2可得|1/w-4/3|≤2/3，即1/w也在以(4/3,0)为圆心、2/3为半径的圆内。
公式：|1/w-4/3|≤2/3
提示：对称性
步骤 4/5
目标：将目标表达式转化为1/z和1/w的和的模
目标|z+w|/|zw| = |1/z+1/w|，即两个圆内点之和的模的最小值。
公式：|z+w|/|zw| = |1/z+1/w|
提示：利用|zw|=|z||w|
步骤 5/5
目标：求两个圆内点之和的模的最小值
两圆圆心均为(4/3,0)，半径2/3。和的最小值当两点在圆心两侧且共线时取得：最小值=2×(4/3-2/3)=4/3。
公式：min|u+v| = 2×(4/3-2/3)=4/3
提示：三角形不等式：|u+v|≥| |u| - |v| |，但这里用几何意义更直接
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