香港中文大学（深圳） 2022年强基第3题

解：由条件 $a \cos B=2 b \cos A$ 以及余弦定理知，$\displaystyle a \cdot \frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2 a c}=2 b \cdot \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}$ ，即 $3 a^{2}=3 b^{2}+c^{2}$ ，记 $b=x a, c=y a$ ，则 $3=3 x^{2}+y^{2}$ ，且 $\displaystyle \frac{c+2 b}{a}=y+2 x \leq \sqrt{\left(y^{2}+(\sqrt{3} x)^{2}\right)\left(1^{2}+(2 / \sqrt{3})^{2}\right)}=\sqrt{3 \times 7 / 3}=\sqrt{7}$ ，当且仅当 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}3=3 x^{2}+y^{2} \\ \frac{y}{1}=\frac{\sqrt{3} x}{2 / \sqrt{3}}\end{array}\right.$ 即 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=\frac{2}{\sqrt{7}} \\ y=\frac{3}{\sqrt{7}}\end{array}\right.$ 时取等号。