香港中文大学（深圳） 2022年强基第4题
📝 题目
求 $\displaystyle \frac{\frac{a+b}{2}-\sqrt{a b}}{\frac{a+b+c}{3}-\sqrt[3]{a b c}}$ 的最值。
💡 答案解析
解：注意 $a, b, c\gt 0$ ，由基本不等式知，原式非负；当 $a=b\gt c\gt 0$ 时，原式值为 0 ，此即最小值， 以下求原式的最大值，通过齐次化，可不妨设 $c=1$ ，此时原式为 $\displaystyle \frac{\frac{a+b}{2}-\sqrt{a b}}{\frac{a+b+1}{3}-\sqrt[3]{a b}}$ 。固定 $b\gt 0$ ，令 $a \rightarrow+\infty$ 知原式 $\displaystyle \rightarrow \frac{3}{2}$ ，下证原式的最大值为 $\displaystyle \frac{3}{2}$ ，即证 $\displaystyle \frac{a+b}{2}-\sqrt{a b} \leq \frac{3}{2}\left(\frac{a+b+1}{3}-\sqrt[3]{a b}\right)$ 注意此式等价于 $3 \sqrt[3]{a b} \leq 1+2 \sqrt{a b}$ ，由基本不等式知成立且等号可取到。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定定义域和最小值
由基本不等式，原式非负；当a=b>c>0时，分子为0，原式值为0，即最小值。
公式：\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}
提示：注意a,b,c>0
步骤 2/6
目标：齐次化简化问题
原式分子分母均为齐次，可设c=1，则原式化为\frac{\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}}{\frac{a+b+1}{3}-\sqrt[3]{ab}}。
提示：齐次化不改变比值
步骤 3/6
目标：猜测最大值
固定b>0，令a→+∞，分子~a/2，分母~a/3，比值→3/2，猜测最大值为3/2。
提示：极限分析
步骤 4/6
目标：证明最大值
需证\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab} \leq \frac{3}{2}\left(\frac{a+b+1}{3}-\sqrt[3]{ab}\right)，化简得3\sqrt[3]{ab} \leq 1+2\sqrt{ab}。
公式：3\sqrt[3]{ab} \leq 1+2\sqrt{ab}
提示：利用均值不等式
步骤 5/6
目标：验证不等式成立
由均值不等式，\sqrt{ab} = \sqrt[3]{ab\cdot\sqrt{ab}} \leq \frac{ab+\sqrt{ab}+1}{3}，但直接应用：令x=\sqrt[6]{ab}，则3x^2 \leq 1+2x^3，即(x-1)^2(2x+1)\geq0，成立。
公式：(x-1)^2(2x+1)\geq0
提示：换元简化
步骤 6/6
目标：取等条件
等号当且仅当x=1，即ab=1，且a=b，故a=b=1，c=1时取等，原式最大值为3/2。
提示：注意齐次化后c=1
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