香港中文大学（深圳） 2022年强基第5题
📝 题目
已知 $m^{4}+|x|+n-81=0$ 有唯一解 $x=n$ ，求 $m+n$ 可能为？
💡 答案解析
解：注意当上述方程有解 $x=n$ 时，$x=-n$ 也为它的解；而由方程解唯一知 $n=0$ ，则 $m^{4}=81, m= \pm 3$ ，故 $m+n$ 的可能值为 $\pm 3$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析方程解的唯一性条件
方程 m^4 + |x| + n - 81 = 0 中，|x| 是偶函数，若 x=n 是解，则 x=-n 也是解。
公式：|x| = |-x|
提示：注意绝对值函数的对称性
步骤 2/6
目标：由唯一解推出 n=0
因为方程有唯一解，所以 x=n 和 x=-n 必须相同，即 n = -n，解得 n=0。
公式：n = -n ⇒ n=0
提示：唯一解意味着解必须自对称
步骤 3/6
目标：代入 n=0 化简方程
将 n=0 代入原方程得 m^4 + |x| - 81 = 0，即 |x| = 81 - m^4。
公式：m^4 + |x| - 81 = 0
提示：注意绝对值非负
步骤 4/6
目标：利用唯一解确定 m^4
方程有唯一解 x=0，代入得 m^4 + 0 - 81 = 0，所以 m^4 = 81。
公式：m^4 = 81
提示：唯一解就是 x=0
步骤 5/6
目标：求解 m 的值
由 m^4 = 81 得 m^2 = 9 或 m^2 = -9（舍去），所以 m = ±3。
公式：m = ±3
提示：注意四次方根有两个实根
步骤 6/6
目标：计算 m+n 的可能值
n=0，m=±3，所以 m+n = ±3。
公式：m+n = ±3
提示：最终结果
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