香港中文大学（深圳） 2021年强基第2题
📝 题目
10 个球，其中 5 黑 5 白，记 $x$ 表示抽 5 次白球数（有放回），$y$ 表示抽 5 次（不放回），则 。 A．$E(x)=E(y)$ B．$E(x)\lt E(y)$ C．$D(x) \geq D(y)$ D．$D(x) \leq D(y)$
💡 答案解析
【解析】依题意有 $\displaystyle X \sim B\left(5, \frac{1}{2}\right)$ ，则 $\displaystyle E(X)=\frac{5}{2}, D(X)=\frac{5}{4}$ ， $Y$ 可能取值为 $0,1,2,3,4,5$ ，分别列为： \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline$Y$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline$P$ & $\displaystyle \frac{1}{252}$ & $\displaystyle \frac{25}{252}$ & $\displaystyle \frac{25}{63}$ & $\displaystyle \frac{25}{63}$ & $\displaystyle \frac{25}{252}$ & $\displaystyle \frac{1}{252}$ \\ \hline \end{tabular} 所以 $\displaystyle E(Y)=\frac{25}{252}+\frac{200}{252}+\frac{300}{252}+\frac{100}{252}+\frac{5}{252}=\frac{5}{2}$ ， $\displaystyle D(Y)=E\left(Y^{2}\right)-E^{2}(Y)=\frac{25}{36}$, 所以 $E(X)=E(Y), D(X) \geqslant D(Y)$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定X的分布
有放回抽取5次，每次抽到白球概率为1/2，故X服从二项分布B(5,1/2)。
公式：X ~ B(n=5, p=1/2)
提示：有放回抽取是独立重复试验，对应二项分布。
步骤 2/6
目标：计算X的期望和方差
E(X)=np=5×1/2=2.5，D(X)=np(1-p)=5×1/2×1/2=1.25。
公式：E(X)=np, D(X)=np(1-p)
提示：二项分布期望和方差公式直接代入。
步骤 3/6
目标：确定Y的分布列
不放回抽取5次，白球数Y服从超几何分布，计算各概率：P(Y=k)=C(5,k)C(5,5-k)/C(10,5)。
公式：P(Y=k)=C(5,k)C(5,5-k)/C(10,5)
提示：超几何分布概率公式，注意组合数计算。
步骤 4/6
目标：计算Y的期望
E(Y)=∑k·P(Y=k)=0×1/252+1×25/252+2×25/63+3×25/63+4×25/252+5×1/252=2.5。
公式：E(Y)=∑k·P(Y=k)
提示：期望等于2.5，与X相同。
步骤 5/6
目标：计算Y的方差
先算E(Y²)=∑k²·P(Y=k)=0²×1/252+1²×25/252+2²×25/63+3²×25/63+4²×25/252+5²×1/252=7.5，则D(Y)=E(Y²)-[E(Y)]²=7.5-6.25=1.25。
公式：D(Y)=E(Y²)-[E(Y)]²
提示：方差公式，注意计算准确。
步骤 6/6
目标：比较期望和方差
E(X)=E(Y)=2.5，D(X)=D(Y)=1.25，故A和C正确。
提示：期望相等，方差也相等。
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