香港中文大学（深圳） 2021年强基第3题
📝 题目
求值： $\cos 48^{\circ}-\cos 12^{\circ}+\cos 36^{\circ}$ 。
💡 答案解析
【解析】 $\cos 48^{\circ}-\cos 12^{\circ}+\cos 36^{\circ}$ $=\sin 42^{\circ}-\sin 78^{\circ}+\sin 54^{\circ}$ $=\sin \left(60^{\circ}-18^{\circ}\right)-\sin \left(60^{\circ}+18^{\circ}\right)+\sin 54^{\circ}$ $=-2 \cos 60^{\circ} \sin 18^{\circ}$ $=\sin 54^{\circ}-\sin 18^{\circ}$ $=\sin \left(36^{\circ}+18^{\circ}\right)-\sin \left(36^{\circ}-18^{\circ}\right)$ $=2 \cos 36^{\circ} \sin 18^{\circ}$ $\displaystyle =\frac{2 \cos 36^{\circ} \sin 18^{\circ} \cos 18^{\circ}}{\cos 18^{\circ}}$ $\displaystyle =\frac{2 \cos 36^{\circ} \sin 36^{\circ}}{2 \cos 18^{\circ}}$ $\displaystyle =\frac{\sin 72^{\circ}}{2 \cos 18^{\circ}}$ $\displaystyle =\frac{1}{2}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将余弦转化为正弦
利用诱导公式 cos α = sin(90° - α)，将 cos 48° 和 cos 12° 转化为正弦，同时 cos 36° = sin 54°。
公式：cos α = sin(90° - α)
提示：注意角度转换：48°→42°，12°→78°，36°→54°。
步骤 2/6
目标：利用和差化积公式化简前两项
将 sin 42° - sin 78° 用和差化积公式：sin A - sin B = 2 cos((A+B)/2) sin((A-B)/2)，得到 -2 cos 60° sin 18° = -sin 18°。
公式：sin A - sin B = 2 cos((A+B)/2) sin((A-B)/2)
提示：注意 sin 42° - sin 78° 中 A=42°，B=78°，计算得 cos 60°=1/2。
步骤 3/6
目标：合并表达式
原式变为 -sin 18° + sin 54° = sin 54° - sin 18°。
提示：直接合并即可。
步骤 4/6
目标：再次使用和差化积公式
将 sin 54° - sin 18° 用和差化积公式：sin A - sin B = 2 cos((A+B)/2) sin((A-B)/2)，得到 2 cos 36° sin 18°。
公式：sin A - sin B = 2 cos((A+B)/2) sin((A-B)/2)
提示：A=54°，B=18°，计算得 cos 36°。
步骤 5/6
目标：利用二倍角公式化简
分子分母同乘 cos 18°，分子变为 2 cos 36° sin 18° cos 18° = cos 36° sin 36°，分母为 cos 18°。
公式：sin 2θ = 2 sin θ cos θ
提示：sin 18° cos 18° = (1/2) sin 36°。
步骤 6/6
目标：继续化简
分子 cos 36° sin 36° = (1/2) sin 72°，分母 cos 18° = sin 72°，所以原式 = 1/2。
公式：sin 2θ = 2 sin θ cos θ，cos α = sin(90° - α)
提示：sin 72° = cos 18°。
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