香港中文大学（深圳） 2021年强基第4题
📝 题目
若 $\displaystyle \cos \theta \geq \frac{2}{3}$ ，求 $\cos 2 \theta+\cos 3 \theta+\cos 4 \theta$ 的最小值。
💡 答案解析
【解析】易知原式 $=2 \cos 3 \theta \cos \theta+\cos 3 \theta=(2 \cos \theta+1)\left(4 \cos ^{3} \theta-3 \cos \theta\right)$ ， 记 $\displaystyle x=\cos \theta \geqslant \frac{2}{3}, f(x)=(2 x+1)\left(4 x^{3}-3 x\right)$ ， 有 $f^{\prime}(x)=32 x^{3}+12 x^{2}-12 x-3, f^{\prime \prime}(t)=96 x^{2}+24 x-12\gt 0$ ， 则 $\displaystyle f^{\prime}(x) \geqslant f^{\prime}\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{103}{27}$ ，所以 $f(x)$ 单调递增，故 $\displaystyle f(x)_{\text {min }}=f\left(\frac{2}{3}\right)=-\frac{154}{81}$ ， 即可知所求表达式的最小值为 $\displaystyle -\frac{154}{81}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：化简表达式
利用和差化积公式：cos2θ+cos4θ=2cos3θcosθ，再与cos3θ合并得(2cosθ+1)cos3θ，再将cos3θ用三倍角公式展开。
公式：cos2θ+cos4θ=2cos3θcosθ, cos3θ=4cos³θ-3cosθ
提示：注意和差化积与三倍角公式的灵活运用。
步骤 2/5
目标：换元并定义函数
令x=cosθ，由条件知x≥2/3。原式化为f(x)=(2x+1)(4x³-3x)。
公式：f(x)=(2x+1)(4x³-3x)
提示：换元后注意定义域。
步骤 3/5
目标：求导判断单调性
对f(x)求导得f'(x)=32x³+12x²-12x-3。再求二阶导f''(x)=96x²+24x-12，在x≥2/3时f''(x)>0，故f'(x)递增。
公式：f'(x)=32x³+12x²-12x-3, f''(x)=96x²+24x-12
提示：二阶导大于0说明一阶导单调递增。
步骤 4/5
目标：计算最小值点
由于f'(x)递增，最小值在x=2/3处取得。计算f'(2/3)=103/27>0，故f(x)在x≥2/3上单调递增，最小值在x=2/3处。
公式：f'(2/3)=103/27>0
提示：一阶导恒正说明函数单调递增。
步骤 5/5
目标：计算最小值
代入x=2/3得f(2/3)=(2*(2/3)+1)*(4*(8/27)-3*(2/3))=(7/3)*(32/27-2)=(7/3)*(-22/27)=-154/81。
公式：f(2/3)=-154/81
提示：计算时注意分数运算。
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