香港中文大学（深圳） 2021年强基第7题
📝 题目
记椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ 的上下顶点为 $A, B$ ，过点 $B$ 作线段 $B C \perp y$ 轴，连接 $O C$ ，过点 $A$ 作平行于 $O C$ 的直线，交椭圆于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $D E \perp y$ 轴，连接 $A C$ 交 $D E$ 于点 $P$ ，求 $P E$ 和 $P D$ 之间的关系。
💡 答案解析
【解析】由题目条件，我们有两组平行关系：$B C / / E D, A D / / O C$ ，所以直角三角形 $\triangle A E D$ 相似于 $\triangle O B C$ ，故 $\displaystyle \frac{|E D|}{|A E|}=\frac{|B C|}{|O B|}$ ；直角三角形 $\triangle A E P$ 相似于 $\triangle A B C$ ，故 $\displaystyle \frac{|E P|}{|A E|}=\frac{|B C|}{|A B|}$ ，因为 $|A B|=2|O B|$ 所以二者联立可知 $|E D|=2|E P|$ 即 $|P E|=|P D|$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：确定椭圆顶点坐标
椭圆方程为x²/4+y²=1，a=2，b=1，上下顶点A(0,1)，B(0,-1)。
公式：椭圆标准方程
提示：注意a是长半轴，b是短半轴。
步骤 2/7
目标：构造辅助线并求点坐标
过B作BC⊥y轴，设C(2,-1)；连接OC，过A作AD∥OC，交椭圆于D。
公式：直线平行斜率相等
提示：OC斜率k=-1/2，AD方程y-1=(-1/2)x。
步骤 3/7
目标：求点D坐标
联立AD与椭圆方程：y=1-x/2，代入椭圆得x²/4+(1-x/2)²=1，解得x=2（舍）或x=0？
公式：联立方程
提示：注意D不是A，应解出另一个交点。
步骤 4/7
目标：重新计算D点坐标
联立得x²/4+1-x+x²/4=1，即x²/2-x=0，x(x/2-1)=0，x=0或x=2，取x=2得D(2,0)。
公式：二次方程求解
提示：x=0对应A点，x=2对应D点。
步骤 5/7
目标：求DE和AC交点P
过D作DE⊥y轴，则E(0,0)；连接AC，A(0,1)，C(2,-1)，AC方程y= -x+1。
公式：直线方程
提示：DE是x轴，与AC交点P满足y=0，代入得x=1，P(1,0)。
步骤 6/7
目标：计算PE和PD长度
P(1,0)，E(0,0)，D(2,0)，则PE=1，PD=1，所以PE=PD。
公式：距离公式
提示：三点共线，距离为横坐标差。
步骤 7/7
目标：总结关系
由计算得PE=PD，即P是DE中点。
公式：无
提示：也可用相似三角形证明。
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