香港中文大学（深圳） 2021年强基第8题
📝 题目
求直线区域族 $2 a x+b y-2 \leq 0,|a|,|b| \leq 1$ 交集的面积。
💡 答案解析
【解析】设题目考虑的区域为 $S$ ，则 $(x, y) \in S$ 当且仅当 $\max _{|a|, b|s|}(2 a x+b y) \leq 2$ ，即 $S=\{(x, y)|2| x|+|y| \leq 2\}$ ，即为直线 $\pm 2 x \pm y=2$ 围成的区域。如图可知 $$ \begin{aligned} & f(x)=2-2 \cdot x \\ & g(x)=2+2 \cdot x \\ & h(x)=2 \cdot x-2 \\ & q(x)=-2 \cdot x-2 \end{aligned} $$ 
区域面积为 $\displaystyle 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1=4$ 。
区域面积为 $\displaystyle 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1=4$ 。📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解问题并转化条件
题目要求直线族2ax+by-2≤0（|a|,|b|≤1）的交集区域S。即所有满足条件的直线所覆盖的公共区域。
提示：注意a,b独立变化，交集是同时满足所有不等式的点集。
步骤 2/5
目标：将交集条件转化为最值形式
点(x,y)在S中当且仅当对所有|a|≤1,|b|≤1有2ax+by≤2，即max_{|a|≤1,|b|≤1}(2ax+by)≤2。
公式：max_{|a|≤1,|b|≤1}(2ax+by) = 2|x|+|y|
提示：最大值在a=sign(x), b=sign(y)时取得。
步骤 3/5
目标：得到区域不等式
因此S = {(x,y) | 2|x| + |y| ≤ 2}，这是一个菱形区域，由直线±2x±y=2围成。
公式：2|x|+|y| ≤ 2
提示：绝对值不等式表示对称区域。
步骤 4/5
目标：确定区域形状和顶点
直线与坐标轴交点：x轴交点(±1,0)，y轴交点(0,±2)。区域是中心在原点的菱形。
提示：顶点坐标代入可得。
步骤 5/5
目标：计算面积
菱形面积等于对角线乘积的一半。对角线长分别为2（x轴方向）和4（y轴方向），面积= (2×4)/2 = 4。
公式：面积 = (d1 * d2) / 2
提示：也可用三角形面积乘以4：每个三角形面积=1/2 * 1 * 2 =1，总面积=4。
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