香港中文大学（深圳） 2021年强基第9题

【解析】 $\overrightarrow{C M} \cdot \overrightarrow{C N}=(\overrightarrow{O M}-\overrightarrow{O C}) \cdot(\overrightarrow{O N}-\overrightarrow{O C})=\overrightarrow{O M} \cdot \overrightarrow{O N}+\overrightarrow{O C} \cdot \overrightarrow{O C} -\overrightarrow{O C}(\overrightarrow{O M}+\overrightarrow{O N})=-1+\overrightarrow{O C} \cdot \overrightarrow{0}+\overrightarrow{O C} \cdot \overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O C} \cdot \overrightarrow{O C}-1$ ，而 $\displaystyle \overrightarrow{O C} \cdot \overrightarrow{O C}=\frac{\lambda \overrightarrow{O A}+(1-\lambda) \overrightarrow{O B}}{2} \cdot \frac{\lambda \overrightarrow{O A}+(1-\lambda) \overrightarrow{O B}}{2}$ ，注意到 $\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}=0$ ，所以 $\displaystyle \stackrel{\rightharpoonup}{O C} \cdot \stackrel{\rightharpoonup}{O C}=\frac{\lambda^{2}}{4}|O A|^{2}+\frac{(1-\lambda)^{2}}{4}|O B|^{2}=\frac{\lambda^{2}}{4}+\frac{(1-\lambda)^{2}}{4} \geq \frac{1}{4} \cdot \frac{(\lambda+1-\lambda)^{2}}{2}=\frac{1}{8}$ ，故 $\overrightarrow{C M} \cdot \overrightarrow{C N}$ 的最小值为 $\displaystyle -\frac{7}{8}$ ，取等条件为 $\displaystyle \lambda=\frac{1}{2}$ 。