香港中文大学（深圳） 2021年强基第10题
📝 题目
已知两个非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $\displaystyle \vec{a} \cdot \vec{b}=\frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}|$ ，求 $\langle\vec{a}, \vec{a}+2 \vec{b}\rangle$ 的取值范围。
💡 答案解析
【解析】记 $\langle\vec{a}, \vec{a}+2 \vec{b}\rangle \triangleq \theta$ ，则 $\displaystyle \cos \theta=\frac{\vec{a} \cdot(\vec{a}+2 \vec{b})}{|\vec{a}||\vec{a}+2 \vec{b}|}=\frac{|\vec{a}|^{2}+|\vec{a}||\vec{b}|}{|\vec{a}||\vec{a}+2 \vec{b}|}=\frac{|\vec{a}|+|\vec{b}|}{|\vec{a}+2 \vec{b}|}$ ，而 $|\vec{a}+2 \vec{b}|^{2}=(\vec{a}+2 \vec{b})(\vec{a}+2 \vec{b})=|\vec{a}|^{2}+4|\vec{b}|^{2}+2|\vec{a}| \cdot|\vec{b}|$ ，故 $$ \cos \theta=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{3|\vec{b}|^{2}}{(|\vec{a}|+|\vec{b}|)^{2}}}} $$ 因此 $\displaystyle 1>\cos \theta>\frac{1}{2}$ ，所以的取值范围为 $\displaystyle \left(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\right)$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：设夹角并写出余弦公式
记⟨a, a+2b⟩=θ，由向量夹角余弦公式得cosθ = a·(a+2b)/(|a||a+2b|)。
公式：cosθ = (a·(a+2b))/(|a||a+2b|)
提示：注意向量点乘的分配律
步骤 2/7
目标：化简分子
a·(a+2b)=|a|²+2a·b，由已知a·b=½|a||b|，代入得|a|²+|a||b|。
公式：a·(a+2b)=|a|²+|a||b|
提示：利用已知条件简化
步骤 3/7
目标：化简分母中的模长平方
|a+2b|²=(a+2b)·(a+2b)=|a|²+4|b|²+4a·b，代入a·b得|a|²+4|b|²+2|a||b|。
公式：|a+2b|²=|a|²+4|b|²+2|a||b|
提示：注意系数4来自2b的平方
步骤 4/7
目标：将cosθ表示为模长比的函数
cosθ=(|a|+|b|)/√(|a|²+4|b|²+2|a||b|)，分子分母同除以|a|+|b|，并配方分母得(|a|+|b|)²+3|b|²。
公式：cosθ = (|a|+|b|)/√((|a|+|b|)²+3|b|²)
提示：配方技巧：|a|²+4|b|²+2|a||b|=(|a|+|b|)²+3|b|²
步骤 5/7
目标：进一步化简cosθ表达式
cosθ = 1/√(1+3|b|²/(|a|+|b|)²)，令t=|b|/(|a|+|b|)，则t∈(0,1)，cosθ=1/√(1+3t²)。
公式：cosθ = 1/√(1+3t²), t∈(0,1)
提示：t的范围由非零向量决定
步骤 6/7
目标：求cosθ的取值范围
t∈(0,1)时，3t²∈(0,3)，1+3t²∈(1,4)，所以cosθ∈(1/2,1)。
公式：cosθ∈(1/2,1)
提示：注意开方后分母变大，cosθ变小
步骤 7/7
目标：由余弦值得到夹角范围
cosθ∈(1/2,1)对应θ∈(0,π/3)，但夹角定义在[0,π]，且cosθ>0，故θ∈(0,π/3)。
公式：θ∈(0,π/3)
提示：余弦函数在[0,π]上单调递减
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