香港中文大学（深圳） 2021年强基第11题
📝 题目
求二元方程 $x^{3}+3 x^{2}-4 x=y^{3}+6 y^{2}+8 y+1$ 的全部整数解 $(x, y)$ 。
💡 答案解析
【解析】原式等价于 $x(x-1)(x+4)=y(y+2)(y+4)+1$ ，注意到左边一定是偶数，故 $y$ 一定是奇数。若记 $f(x)=x(x-1)(x+4)$ ，则 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上严格单调递增，$(-\infty,-4]$ 上严格单调递增。简单计算得 $f(-1)=6, f(-2)=f(-3)=12$ 。注意到，当 $y \geq 1$ 时， $f(y+1)\lt (y+1) y(y+5)+3 \leq y(y+2)(y+4)\lt (y+2)(y+1)(y+6)-1=f(y+2)-1$ ，且 $12\lt 1 \cdot 3 \cdot 5$ 故此时没有解；同理当 $y \leq-5$ 时， $f(y)\lt (y-1) y(y+4)+3 y(y+4)=y(y+2)(y+4)=y(y+1)(y+5)+3 y\lt f(y+1)-1$ ，故也没有解；因此只剩下 $y=-1$ 和 $y=-3$ ，代入验证发现原式右端分别为 $-2,4$ ，但 $f(-5)=-30\lt -2\lt 4\lt f(-1)=6\lt f(2)=12$ ，故无解 综上所述，方程无整数解。
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：将原方程变形为便于分析的形式
将原方程左边因式分解为 x(x-1)(x+4)，右边分解为 y(y+2)(y+4)+1，得到等价方程 x(x-1)(x+4) = y(y+2)(y+4)+1。
公式：x^3+3x^2-4x = x(x-1)(x+4); y^3+6y^2+8y+1 = y(y+2)(y+4)+1
提示：注意因式分解的技巧，提取公因式或分组分解。
步骤 2/7
目标：分析奇偶性，确定y为奇数
左边 x(x-1)(x+4) 是三个连续整数之积，必为偶数。右边 y(y+2)(y+4)+1，若y为偶数则右边为奇数，矛盾，故y必为奇数。
公式：偶数 = 奇数+1 不可能
提示：利用奇偶性缩小y的范围。
步骤 3/7
目标：分析函数单调性，划分区间讨论
令 f(t)=t(t-1)(t+4)，则 f(t) 在 [1,+∞) 和 (-∞,-4] 上严格递增。计算关键点：f(-1)=6, f(-2)=f(-3)=12。
公式：f(t)=t(t-1)(t+4)
提示：利用单调性比较函数值大小。
步骤 4/7
目标：讨论y≥1的情况
当y≥1时，有 f(y+1) < y(y+2)(y+4) < f(y+2)-1，且 f(1)=0，f(2)=12，而右边最小为1·3·5=15>12，故无解。
公式：f(y+1) < y(y+2)(y+4) < f(y+2)-1
提示：注意不等式放缩的准确性。
步骤 5/7
目标：讨论y≤-5的情况
当y≤-5时，有 f(y) < y(y+2)(y+4) < f(y+1)-1，且 f(-5)=-30，f(-4)=0，而右边最大为负，但需检查具体值，无解。
公式：f(y) < y(y+2)(y+4) < f(y+1)-1
提示：注意负数区间的不等式方向。
步骤 6/7
目标：检验剩余可能的y值
由y为奇数且不在上述区间，剩余y=-1和y=-3。代入右边得：y=-1时右边=-2，y=-3时右边=4。左边f(x)可能值：f(-5)=-30, f(-1)=6, f(2)=12，-2和4均不在这些值中，故无解。
公式：f(-5)=-30, f(-1)=6, f(2)=12
提示：直接代入验证即可。
步骤 7/7
目标：得出结论
综合以上讨论，原方程无整数解。
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