香港中文大学（深圳） 2021年强基第12题
📝 题目
求表达式 $\displaystyle S=\frac{1}{2} C_{11}^{0}+\frac{1}{2 \cdot 2^{2}} C_{11}^{1}+\frac{1}{3 \cdot 2^{3}} C_{11}^{2}+\cdots+\frac{1}{12 \cdot 2^{12}} C_{11}^{11}$ 的值。
💡 答案解析
【解析】由二项式定理 $(1+x)^{11}=C_{11}^{0}+C_{11}^{1} x+\cdots+C_{11}^{11} x^{11}$ ，对等式两边同时积分： $\int_{0}^{t}(1+x)^{11} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{t}\left(C_{11}^{0}+C_{11}^{1} x+C_{11}^{2} x^{2}+\cdots C_{11}^{11} x^{11}\right) \mathrm{d} x$ ，该式左端为 $\displaystyle \frac{(1+t)^{12}-1}{12}$ ，右端为 $\displaystyle C_{11}^{0} t+\frac{1}{2} C_{11}^{1} t^{2}+\frac{1}{3} C_{11}^{2} t^{3}+\cdots+\frac{1}{12} C_{11}^{11} t^{12}$ ，令 $\displaystyle t=\frac{1}{2}$ 得 $\displaystyle \frac{\left(\frac{3}{2}\right)^{12}-1}{12}=S$ ，故 $\displaystyle S=\frac{3^{12}-2^{12}}{12 \cdot 2^{12}}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：识别求和形式与二项式定理的关联
观察S的通项为(1/(k·2^k))·C(11,k-1)，联想到(1+x)^11的展开式积分后代入x=1/2。
公式：(1+x)^n = Σ_{k=0}^n C(n,k) x^k
提示：注意指数与组合数下标的对应关系
步骤 2/5
目标：写出二项展开式并两边积分
对(1+x)^11 = Σ_{k=0}^{11} C(11,k) x^k 两边从0到t积分，得∫_0^t (1+x)^11 dx = Σ_{k=0}^{11} C(11,k) ∫_0^t x^k dx。
公式：∫_0^t (1+x)^11 dx = [(1+t)^12 - 1]/12
提示：积分区间从0到t，左端用幂函数积分公式
步骤 3/5
目标：计算积分结果
左端积分得[(1+t)^12 - 1]/12；右端积分得Σ_{k=0}^{11} C(11,k) t^{k+1}/(k+1)。
公式：∫_0^t x^k dx = t^{k+1}/(k+1)
提示：注意k从0到11，积分后指数加1
步骤 4/5
目标：代入t=1/2并匹配S
令t=1/2，则右端为Σ_{k=0}^{11} C(11,k) (1/2)^{k+1}/(k+1) = Σ_{n=1}^{12} (1/(n·2^n)) C(11,n-1) = S。
公式：S = [(1+1/2)^12 - 1]/12
提示：将k+1替换为n，注意求和范围
步骤 5/5
目标：化简得到最终结果
计算(3/2)^12 = 3^12/2^12，代入得S = (3^12/2^12 - 1)/12 = (3^12 - 2^12)/(12·2^12)。
公式：S = (3^12 - 2^12)/(12·2^12)
提示：通分合并即可
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