香港中文大学（深圳） 2020年强基第1题
📝 题目
已知复数 $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ ，满足 $z_{1}^{2}-4 z_{2}=12-4 i$ ，若方程 $x^{2}-z_{1} x+z_{2}+z_{3}=0$ 的两个复数解为 $\alpha, \beta$ ，且 $|\alpha-\beta|=2 \sqrt{3}$ ，求 $\left|z_{3}\right|$ 的最大和最小值（）。 A．最大值为 $\sqrt{10}+\sqrt{3}$ B．最大值为 $\sqrt{10}+3$ C．最小值为 $\sqrt{10}-3$ D．最小值为 $\sqrt{10}-\sqrt{3}$
💡 答案解析
BC 解析：$|\alpha-\beta|=\left|\sqrt{z_{1}^{2}-4\left(z_{2}+z_{3}\right)}\right|=2 \sqrt{3}$ $\therefore\left|z_{1}^{2}-4 z_{2}-4 z_{3}\right|=12$ 即 $\left|12-4 i-4 z_{3}\right|=12$ $\therefore\left|z_{3}-(3-i)\right|=3$ $\therefore\left|z_{3}\right|_{\text {max }}=\sqrt{10}+3\left|z_{3}\right|_{\text {min }}=\sqrt{10}-3$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用韦达定理表示α-β
由韦达定理，α+β=z1，αβ=z2+z3，则(α-β)^2=(α+β)^2-4αβ=z1^2-4(z2+z3)。
公式：(α-β)^2 = z1^2 - 4(z2+z3)
提示：注意α-β的模长条件
步骤 2/5
目标：代入模长条件
已知|α-β|=2√3，所以|z1^2-4(z2+z3)|=12。
公式：|z1^2 - 4(z2+z3)| = 12
提示：模长平方为12
步骤 3/5
目标：利用已知条件化简
由z1^2-4z2=12-4i，代入得|12-4i-4z3|=12，即|4z3-(12-4i)|=12。
公式：|12-4i-4z3| = 12
提示：提取公因子4
步骤 4/5
目标：化简为圆方程
两边除以4得|z3-(3-i)|=3，表示z3在以(3,-1)为圆心、半径为3的圆上。
公式：|z3 - (3-i)| = 3
提示：圆心为3-i，半径为3
步骤 5/5
目标：求|z3|的最值
|z3|表示圆上的点到原点的距离。圆心到原点距离为√(3^2+(-1)^2)=√10，所以最大值为√10+3，最小值为√10-3。
公式：|z3|_max = √10 + 3, |z3|_min = √10 - 3
提示：圆上点到定点距离的最值
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