香港中文大学（深圳） 2020年强基第2题
📝 题目
已知 $|\vec{a}|=|\vec{a}+2 \vec{b}|=2$ ，求 $|2 \vec{a}+\vec{b}|+|\vec{b}|$ 的最大值（）。 A． $2 \sqrt{3}$ B．$\displaystyle \frac{8}{3}$ C． $4 \sqrt{3}$ D．$\displaystyle \frac{8 \sqrt{3}}{3}$
💡 答案解析
D 解析设 $\vec{c}=\vec{a}+2 \vec{b} \quad \therefore|\vec{a}|=|\vec{c}|=2$ $\displaystyle |2 \vec{a}+\vec{b}|+|\vec{b}|=\left|2 \vec{a}+\frac{\vec{c}-\vec{a}}{2}\right|+\left|\frac{\vec{c}-\vec{a}}{2}\right|$ $$ \begin{aligned} & =\frac{1}{2}(|\vec{c}+3 \vec{a}|+|\vec{c}-\vec{a}|) \\ & \leqslant \frac{1}{2} \sqrt{\left(|\vec{c}+3 \vec{a}|^{2}+3|\vec{c}-\vec{a}|^{2}\right)\left(1+\frac{1}{3}\right)} \\ & =\frac{1}{2} \sqrt{\frac{4}{3}\left(4 \vec{c}^{2}+12 \vec{a}^{2}\right)} \\ & =\sqrt{\frac{4}{3}\left(|\vec{c}|^{2}+3|\vec{a}|^{2}\right)}=\frac{8}{\sqrt{3}}, ~ \text { 即 } \frac{8 \sqrt{3}}{3} 。 \end{aligned} $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：引入新向量简化条件
设 c = a + 2b，由已知 |a| = |c| = 2。
公式：c = a + 2b
提示：将条件转化为两个长度相等的向量，便于后续运算。
步骤 2/6
目标：用a和c表示b
由 c = a + 2b 得 b = (c - a)/2。
公式：b = (c - a)/2
提示：解出b的表达式。
步骤 3/6
目标：将目标表达式用a和c表示
代入得 |2a+b| + |b| = |2a + (c-a)/2| + |(c-a)/2| = (1/2)(|c+3a| + |c-a|)。
公式：|2a+b|+|b| = (1/2)(|c+3a| + |c-a|)
提示：合并同类项，提取公因子1/2。
步骤 4/6
目标：应用柯西不等式求最大值
由柯西不等式：(|c+3a| + |c-a|) ≤ √[(1+1/3)(|c+3a|² + 3|c-a|²)]。
公式：(x+y) ≤ √[(1+1/3)(x²+3y²)]
提示：注意系数匹配，使平方和可化简。
步骤 5/6
目标：计算平方和并化简
计算 |c+3a|² + 3|c-a|² = (c²+9a²+6c·a) + 3(c²+a²-2c·a) = 4c²+12a²。
公式：|c+3a|² + 3|c-a|² = 4|c|² + 12|a|²
提示：利用向量点积抵消交叉项。
步骤 6/6
目标：代入已知长度求最大值
代入 |a|=|c|=2，得原式 ≤ (1/2)√[(4/3)(4×4+12×4)] = (1/2)√[(4/3)×64] = (1/2)×(16/√3) = 8/√3 = 8√3/3。
公式：最大值 = 8√3/3
提示：注意等号成立条件：c+3a与c-a共线且同向。
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