香港中文大学（深圳） 2020年强基第3题
📝 题目
过点 $(8,1)$ 作一条直线，分别交坐标轴正半轴于 $A, B$ 两点， （1）若 $O$ 为原点，求 $S_{\triangle A O B}$ 的最小值； （2）求 AB 的最小值。
💡 答案解析
$S_{\triangle A O B}$ 的最小值为 $16, A B$ 最小值为 $5 \sqrt{5}$ ，设直线为 $\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 \therefore \frac{8}{a}+\frac{1}{b}=1$ 而 $\displaystyle S_{\triangle A O B}=\frac{1}{2} a b$ 又 $\displaystyle 1 \geqslant 2 \sqrt{\frac{8}{a b}} \therefore a b \geqslant 32$ $\therefore S_{\triangle A O B} \geqslant 16$ ，当 $a=8 b$ 即 $b=2, a=16$ 时取到． $\because A B=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ 又 $\displaystyle \left(a^{2}+b^{2}\right)\left(\frac{8}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(\frac{8}{a}+\frac{1}{b}\right) \geqslant(4+1)^{3}$ $\therefore A B \geqslant 5 \sqrt{5}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设直线方程
设直线在x轴和y轴上的截距分别为a和b，则直线方程为x/a + y/b = 1。
公式：x/a + y/b = 1
提示：截距式适用于已知与坐标轴交点的情况。
步骤 2/5
目标：代入点坐标
将点(8,1)代入直线方程，得8/a + 1/b = 1。
公式：8/a + 1/b = 1
提示：代入后得到一个关于a和b的约束条件。
步骤 3/5
目标：表示三角形面积
三角形AOB的面积S = (1/2)ab，其中a>0, b>0。
公式：S = (1/2)ab
提示：面积公式直接由截距得到。
步骤 4/5
目标：利用不等式求面积最小值
由8/a + 1/b = 1，利用均值不等式：1 ≥ 2√(8/(ab))，得ab ≥ 32，所以S ≥ 16。
公式：1 ≥ 2√(8/(ab))
提示：注意等号成立条件：8/a = 1/b，即a=8b。
步骤 5/5
目标：求AB的最小值
AB = √(a²+b²)。利用柯西不等式：(a²+b²)(8/a+1/b)² ≥ (4+1)³，得AB ≥ 5√5。
公式：(a²+b²)(8/a+1/b)² ≥ (4+1)³
提示：柯西不等式的应用，注意配凑。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。