香港中文大学（深圳） 2020年强基第4题

$\displaystyle f(x)=\frac{(x-1)^{5}}{(5 x-3)^{9}}$ ，令 $\displaystyle t=x-1, f(t)=\frac{t^{5}}{(5 t+2)^{9}}$ $$ \begin{aligned} f^{\prime}(t) & =\frac{5 t^{4}(5 t+2)^{9}-9(5 t+2)^{8} \times 5 t^{5}}{(5 t+2)^{18}} \\ & =\frac{5 t^{4}(5 t+2-9 t)}{(5 t+2)^{10}}=\frac{5 t^{4}(2-4 t)}{(5 t+2)^{10}} \geqslant 0 \end{aligned} $$ 则 $\displaystyle t \leq \frac{1}{2}$ 即 $\displaystyle \left(-\infty, \frac{3}{5}\right) \uparrow,\left(\frac{3}{5}, \frac{3}{2}\right) \uparrow,\left(\frac{3}{2},+\infty\right) \downarrow$ $\because x<0$ 时 $f(x)>0, \therefore$ 在 $\displaystyle \left(-\infty, \frac{3}{5}\right)$ 上的值域为 $R^{+}$ $\displaystyle x=\frac{3}{2}$ 时 $\displaystyle f\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{5}}{\left(\frac{9}{2}\right)^{9}}=\frac{2^{4}}{9^{9}}$ 即在 $\displaystyle \left(\frac{3}{5}, \frac{3}{2}\right)$ 上值域为 $\displaystyle \left(-\infty, \frac{16}{9^{9}}\right]$ 又 $x>1$ 时 $f(x)>0 \therefore$ 在 $\displaystyle \left(\frac{3}{2},+\infty\right)$ 上值域为 $\displaystyle \left(0, \frac{16}{9^{9}}\right]$ ∴ 原函数定义域为 $\displaystyle \left\{x \left\lvert\, x \neq \frac{3}{5}\right.\right\}$ 值域为 $R$ 单调递增区间为 $\displaystyle \left(-\infty, \frac{3}{5}\right),\left(\frac{3}{5}, \frac{3}{2}\right)$ ，递减区间为 $\displaystyle \left(\frac{3}{2},+\infty\right)$ 奇偶性非奇非偶，无周期性，无对称性，渐近线 为 $y=0$ 与 $\displaystyle x=\frac{3}{5}$ ，极大值为 $\displaystyle \frac{16}{9^{9}}$ ，当 $\displaystyle x=\frac{3}{2}$ 取到