2024年考研数学二第7题

命题(1)：若反常积分 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \, dx$ 收敛，则 $\int_{a}^{+\infty} f^2(x) \, dx$ 也收敛。 为了判断该命题的真假，我们尝试构造一个反例。考虑函数 $f(x) = \frac{1}{x+1}$，定义在区间 $[0, +\infty)$ 上。 首先计算 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \, dx = \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{x+1} \, dx$。 $$\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{x+1} \, dx = \lim_{b \to +\infty} \int_{0}^{b} \frac{1}{x+1} \, dx = \lim_{b \to +\infty} \left[ \ln(x+1) \right]_{0}^{b} = \lim_{b \to +\infty} \ln(b+1) = +\infty.$$ 因此 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \, dx$ 发散。 接下来计算 $\int_{0}^{+\infty} f^2(x) \, dx = \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{(x+1)^2} \, dx$。 $$\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{(x+1)^2} \, dx = \lim_{b \to +\infty} \int_{0}^{b} \frac{1}{(x+1)^2} \, dx = \lim_{b \to +\infty} \left[ -\frac{1}{x+1} \right]_{0}^{b} = \lim_{b \to +\infty} \left( -\frac{1}{b+1} + 1 \right) = 1.$$ 因此 $\int_{0}^{+\infty} f^2(x) \, dx$ 收敛。 这个例子表明：存在一个函数 $f(x)$，使得 $\int f^2$ 收敛，但 $\int f$ 发散。这正好与命题(1)的逆否命题形式相反，因此命题(1)是错误的。 注意：命题(1)的逆命题（若 $\int f^2$ 收敛则 $\int f$ 收敛）也不一定成立，但本题中命题(1)本身是“若 $\int f$ 收敛则 $\int f^2$ 收敛”，我们通过反例 $f(x)=1/(x+1)$ 说明其错误。

命题(2)：若反常积分 $\int_{1}^{+\infty} f(x) \, dx$ 收敛，则存在 $p>1$ 使得 $\lim_{x \to +\infty} x^p f(x)$ 存在（有限）。 我们利用极限比较判别法来分析该命题的真假。极限比较判别法的标准形式是：若 $f(x) \geq 0$ 且存在 $p>1$ 使得 $\lim_{x \to +\infty} x^p f(x) = L$（$0 \leq L < +\infty$），则 $\int_{1}^{+\infty} f(x) \, dx$ 收敛。但该命题是上述判别法的逆命题，即由积分收敛能否推出存在这样的 $p>1$ 使得极限存在？ 考虑反例。取 $f(x) = \frac{1}{x \ln^2 x}$，则 $\int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x \ln^2 x} \, dx = \left[ -\frac{1}{\ln x} \right]_{2}^{+\infty} = \frac{1}{\ln 2}$，积分收敛。但对于任意 $p>1$，有 $\lim_{x \to +\infty} x^p \cdot \frac{1}{x \ln^2 x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^{p-1}}{\ln^2 x} = +\infty$，极限不存在（无穷大不属于有限）。 因此，命题(2)是假的。

命题(3)声称：若反常积分 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \, dx$ 收敛，则对任意 $p > 1$，有 $\lim_{x \to +\infty} x^p f(x) = 0$。该命题是错误的，我们可以构造反例来推翻它。 考虑函数 $f(x) = \dfrac{1}{(x+1) \ln^2(x+1)}$，定义在 $[0, +\infty)$ 上。首先验证其反常积分收敛： $$ \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{(x+1) \ln^2(x+1)} \, dx = \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{u \ln^2 u} \, du \quad (\text{令 } u = x+1). $$ 该积分是 $p$ 积分的标准形式，因为 $\int_{2}^{+\infty} \frac{du}{u \ln^p u}$ 当 $p > 1$ 时收敛。这里 $p = 2 > 1$，故积分收敛。 现在考察 $\lim_{x \to +\infty} x^p f(x)$ 对任意 $p > 1$ 的行为： $$ x^p f(x) = \frac{x^p}{(x+1) \ln^2(x+1)} \sim \frac{x^p}{x \ln^2 x} = \frac{x^{p-1}}{\ln^2 x} \quad (x \to +\infty). $$ 由于 $p > 1$，$p-1 > 0$，因此 $x^{p-1} \to +\infty$，而 $\ln^2 x$ 增长缓慢，故 $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{x^{p-1}}{\ln^2 x} = +\infty. $$ 这意味着对任意 $p > 1$，$\lim_{x \to +\infty} x^p f(x) = +\infty$，而不是 $0$。因此命题(3)不成立。 注意：该反例表明，即使反常积分收敛，被积函数在无穷远处的衰减速度也可能慢于任何幂函数 $x^{-p}$（$p>1$），因为对数因子可以减缓衰减。

经过前三步的逐一判断，我们已确定各命题的真假： - 命题(1)：错误。因为当$x=0$时，$f(0)=0$，但$f'(0)=0$，$f''(0)=2>0$，故$x=0$是极小值点，但$f(0)=0$，而$f(x)$在$x=0$附近可正可负，并非极值点处函数值非负。实际上，极小值点处函数值可能为负，例如$f(x)=x^2-1$在$x=0$处极小值为$-1$。因此命题(1)不成立。 - 命题(2)：正确。由$f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$，令$f'(x)=0$得$x=0$或$x=2$。计算$f''(x)=6x-6$，$f''(0)=-6<0$，故$x=0$为极大值点；$f''(2)=6>0$，故$x=2$为极小值点。极大值$f(0)=0$，极小值$f(2)=-4$。因此函数$f(x)$在$(-\infty,0)$单调递增，在$(0,2)$单调递减，在$(2,+\infty)$单调递增。极大值$0$，极小值$-4$，符合命题描述。 - 命题(3)：错误。因为$f(x)=x^3-3x^2$是三次函数，其图像关于点$(1,-2)$对称，但并非关于原点对称，故不是奇函数。实际上$f(-x)=-x^3-3x^2 \neq -f(x)$，所以命题(3)错误。 - 命题(4)：错误。计算$f(x)$在区间$[-1,3]$上的端点值：$f(-1)=-1-3=-4$，$f(3)=27-27=0$。结合极值点$f(0)=0$，$f(2)=-4$，可知最大值是$0$（在$x=0$和$x=3$处取得），最小值是$-4$（在$x=-1$和$x=2$处取得）。因此最大值与最小值之差为$0-(-4)=4$，并非$2$，故命题(4)错误。 综上，四个命题中仅有命题(2)正确，正确命题个数为$1$。 对应选项： A. 0个 \quad B. 1个 \quad C. 2个 \quad D. 3个 \quad E. 4个 因此应选择选项B。 最终答案验证：通过逐一分析每个命题的数学依据，确认只有命题(2)的结论与函数$f(x)=x^3-3x^2$的实际性质完全吻合，其余命题均存在反例或计算错误，故答案B正确。