2025年考研数学二第10题

我们需要构造两个秩均为1的3阶方阵$A$和$B$，使得$r(AB)=1$且$r(BA)=0$。 首先，取$A$为全1矩阵，即 $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.$$ 显然，$A$的每一行都是第一行的倍数，且第一行非零，故$r(A)=1$。 其次，取$B$为每行都是$(1,0,-1)$的矩阵，即 $$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}.$$ 同样，$B$的每一行都是第一行的倍数，且第一行非零，故$r(B)=1$。 现在计算$AB$： $$AB = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 & -3 \\ 3 & 0 & -3 \\ 3 & 0 & -3 \end{pmatrix}.$$ $AB$的每一行都是第一行的倍数，且第一行非零，故$r(AB)=1$，满足条件。 再计算$BA$： $$BA = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$ $BA$为零矩阵，故$r(BA)=0$，满足条件。 因此，我们成功构造了满足题目要求的矩阵$A$和$B$。

首先分析选项A：若$A$与$B$均为$n$阶矩阵，且$A+B$的秩为1，则方程组$(A+B)x=0$有非零解。 已知$A$与$B$均为$n$阶矩阵，且$A+B$的秩为1。由于秩为1，说明矩阵$A+B$的行（或列）向量线性相关，且其零空间的维数为$n-1$（因为$\mathrm{rank}(A+B)=1$，由秩-零化度定理，$\dim\ker(A+B)=n-1\geq 1$当$n\geq 2$）。因此，存在非零向量$x$使得$(A+B)x=0$，即$Ax+Bx=0$，从而$Ax=-Bx$。 但题目条件中并未给出$A$与$B$的具体形式，仅从秩为1无法直接推出$A$与$B$是否可交换或是否有公共特征向量等性质。实际上，对于任意非零向量$u,v$，可以构造$A=uv^\mathrm{T}$，$B=-uv^\mathrm{T}+C$，其中$C$的秩为0（即零矩阵），则$A+B=C$的秩为0，但$A+B$的秩为1的条件不满足。更关键的是，选项A声称“$(A+B)x=0$有非零解”是必然成立的，因为秩为1时零空间维数至少为$n-1$，确实存在非零解。但题目要求判断该选项是否正确，而实际上该结论虽然正确，但选项A的表述可能隐含了其他条件？ 仔细审题：原题中选项A为“若$A+B$的秩为1，则$(A+B)x=0$有非零解”。根据线性代数基本定理，对于$n$阶方阵$M$，齐次线性方程组$Mx=0$有非零解的充要条件是$\det M=0$，即$M$不可逆，也等价于$\mathrm{rank}(M)1$，则$1

公式：$$\mathrm{rank}(A+B)=1 \Rightarrow \dim\ker(A+B)=n-1$$

提示：注意n=1时秩为1的矩阵可逆，方程组只有零解，需考虑n的范围。