2008年考研数学一第18题

设函数 $F(x) = \int_0^x f(t) \, dt$，其中 $f(t)$ 为连续函数。为了研究 $F(x)$ 的导数，我们考虑自变量 $x$ 的增量 $\Delta x$，并计算函数 $F(x)$ 相应的增量 $\Delta F(x)$。根据定义，有 $$ \Delta F(x) = F(x+\Delta x) - F(x) = \int_0^{x+\Delta x} f(t) \, dt - \int_0^x f(t) \, dt. $$ 利用定积分的区间可加性，将第一个积分拆分为从 $0$ 到 $x$ 和从 $x$ 到 $x+\Delta x$ 的两部分，即 $$ \int_0^{x+\Delta x} f(t) \, dt = \int_0^x f(t) \, dt + \int_x^{x+\Delta x} f(t) \, dt. $$ 代入上式，得到 $$ \Delta F(x) = \left( \int_0^x f(t) \, dt + \int_x^{x+\Delta x} f(t) \, dt \right) - \int_0^x f(t) \, dt = \int_x^{x+\Delta x} f(t) \, dt. $$ 因此，$F(x)$ 的增量表达式为 $$ \Delta F(x) = \int_x^{x+\Delta x} f(t) \, dt. $$ 这个表达式将函数值的改变量转化为一个小区间上的定积分，为后续利用积分中值定理或微积分基本定理求导奠定了基础。注意，这里 $\Delta x$ 可正可负，当 $\Delta x < 0$ 时，积分区间 $[x+\Delta x, x]$ 需要交换上下限，但表达式形式仍然成立。

设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，考虑函数 $F(x)=\int_{a}^{x} f(t) \, dt$。对于固定的 $x$ 和增量 $\Delta x$（满足 $x$ 与 $x+\Delta x$ 均在 $[a,b]$ 内），函数 $F$ 的增量为 $$ \Delta F(x) = F(x+\Delta x) - F(x) = \int_{a}^{x+\Delta x} f(t) \, dt - \int_{a}^{x} f(t) \, dt = \int_{x}^{x+\Delta x} f(t) \, dt. $$ 由于 $f$ 在闭区间 $[x, x+\Delta x]$（或 $[x+\Delta x, x]$，当 $\Delta x<0$ 时）上连续，根据积分中值定理，存在一点 $\xi$ 介于 $x$ 与 $x+\Delta x$ 之间，使得 $$ \int_{x}^{x+\Delta x} f(t) \, dt = f(\xi) \cdot \Delta x. $$ 因此，增量 $\Delta F(x)$ 可表示为 $f(\xi) \Delta x$，其中 $\xi$ 依赖于 $x$ 和 $\Delta x$，且满足 $\xi \in (\min\{x, x+\Delta x\}, \max\{x, x+\Delta x\})$。这一步骤将积分形式的增量转化为函数值与区间长度的乘积，为后续利用 $f$ 的连续性求导数奠定了基础。

由步骤2已得到增量比表达式： $$ \frac{\Delta F(x)}{\Delta x} = f(\xi), \quad \xi \in (x, x+\Delta x) \text{ 或 } (x+\Delta x, x). $$ 当 $\Delta x \to 0$ 时，$\xi$ 被夹逼在 $x$ 与 $x+\Delta x$ 之间，由夹逼定理知 $\xi \to x$。又因为 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，故 $f(\xi) \to f(x)$。因此取极限得： $$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta F(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} f(\xi) = f(x). $$ 根据导数的定义，上式左端正是 $F(x)$ 在点 $x$ 处的导数 $F'(x)$，于是得到： $$ F'(x) = f(x). $$ 这就证明了积分上限函数的导数等于被积函数在上限处的值，即微积分基本定理的核心部分。

由步骤3已知函数 $G(x)$ 的表达式为： $$G(x) = 2\int_0^x f(t) dt - x\int_0^2 f(t) dt$$ 现在需要写出 $G(x+2)$ 的表达式，只需将上式中的自变量 $x$ 替换为 $x+2$。 代入得： $$G(x+2) = 2\int_0^{x+2} f(t) dt - (x+2)\int_0^2 f(t) dt$$ 这里需要注意： 1. 积分上限由 $x$ 变为 $x+2$，因此第一个积分变为 $\int_0^{x+2} f(t) dt$。 2. 第二个积分中的系数 $x$ 变为 $x+2$，而积分 $\int_0^2 f(t) dt$ 本身与 $x$ 无关，保持不变。 因此，最终 $G(x+2)$ 的表达式为： $$G(x+2) = 2\int_0^{x+2} f(t) dt - (x+2)\int_0^2 f(t) dt$$

为了将积分区间变换到以周期为长度的标准区间，我们令 $u = t - 2$，则当 $t = 2$ 时，$u = 0$；当 $t = x + 2$ 时，$u = x$。同时 $dt = du$，因此原积分可化为： $$ \int_2^{x+2} f(t) \, dt = \int_0^x f(u+2) \, du. $$ 由于函数 $f$ 的周期为 $2$，即对任意实数 $t$ 有 $f(t+2) = f(t)$，所以 $f(u+2) = f(u)$。代入上式得： $$ \int_2^{x+2} f(t) \, dt = \int_0^x f(u) \, du. $$ 至此，我们成功地将积分变量从 $t$ 变换为 $u$，并利用周期性将被积函数中的 $u+2$ 简化为 $u$，从而将积分区间 $[2, x+2]$ 上的积分转化为区间 $[0, x]$ 上的积分。这一变换为后续合并积分区间、简化计算奠定了基础。

本步骤的目标是证明函数 $G(x)$ 是以 $2$ 为周期的周期函数。由前一步骤已知 $G(x) = 2\int_0^x f(t) dt - x\int_0^2 f(t) dt$，其中 $f(t)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上且周期为 $2$ 的连续函数。 首先计算 $G(x+2)$： $$ G(x+2) = 2\int_0^{x+2} f(t) dt - (x+2)\int_0^2 f(t) dt. $$ 将积分区间 $[0, x+2]$ 拆分为 $[0,2]$ 和 $[2, x+2]$，即 $$ \int_0^{x+2} f(t) dt = \int_0^2 f(t) dt + \int_2^{x+2} f(t) dt. $$ 对第二个积分作变量代换 $u = t-2$，则当 $t=2$ 时 $u=0$，当 $t=x+2$ 时 $u=x$，且 $dt = du$。利用 $f$ 的周期性 $f(u+2)=f(u)$，有 $$ \int_2^{x+2} f(t) dt = \int_0^x f(u+2) du = \int_0^x f(u) du. $$ 因此 $$ \int_0^{x+2} f(t) dt = \int_0^2 f(t) dt + \int_0^x f(u) du. $$ 代入 $G(x+2)$ 表达式： $$ \begin{aligned} G(x+2) &= 2\left( \int_0^2 f(t) dt + \int_0^x f(u) du \right) - (x+2)\int_0^2 f(t) dt \\ &= 2\int_0^2 f(t) dt + 2\int_0^x f(u) du - x\int_0^2 f(t) dt - 2\int_0^2 f(t) dt \\ &= 2\int_0^x f(u) du - x\int_0^2 f(t) dt \\ &= G(x). \end{aligned} $$ 于是 $G(x+2)=G(x)$ 对所有 $x$ 成立，故 $G(x)$ 是以 $2$ 为周期的周期函数，证毕。 最终答案验证：通过上述推导，我们严格证明了 $G(x)$ 的周期性，从而完成了整个题目的证明。