2025年考研数学二第21题
📝 题目
（本题满分 12 分）
设函数 $f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内可导，证明导函数 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 内严格单调增加的充分必要条件是：
对 $(a, b)$ 内任意的 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，当 $x_{1}\lt x_{2}\lt x_{3}$ 时，$\displaystyle\frac{f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}}\lt\displaystyle\frac{f\left(x_{3}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{3}-x_{2}}$ ．
💡 答案解析
略 【解析】证明：（1）必要性
$$
\begin{aligned}
& \frac{f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}}=f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)\left(x_{1}<\xi_{1} 由于 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 上单增，且 $\xi_{1}<\xi_{2}$ ，则 $f^{\prime}\left(\xi_{1}\right) $$
\frac{f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}}<\frac{f\left(x_{3}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{3}-x_{2}}
$$ ## （2）充分性 > 对于任 意 $c_{1} 当 $a $$
\frac{f\left(c_{1}\right)-f(a)}{c_{1}-a}<\frac{f(x)-f\left(c_{1}\right)}{x-c_{1}}<\frac{f\left(c_{2}\right)-f(x)}{c_{2}-x}
$$ 两边同时取极限及极限的保号性可知：
$\displaystyle\lim _{x \rightarrow c_{1}^{+}} \displaystyle\frac{f(x)-f\left(c_{1}\right)}{x-c_{1}} \leq \displaystyle\lim _{x \rightarrow c_{1}^{+}} \displaystyle\frac{f\left(c_{2}\right)-f(x)}{c_{2}-x}=\displaystyle\frac{f\left(c_{2}\right)-f\left(c_{1}\right)}{c_{2}-c_{1}}$
$\displaystyle\lim _{x \rightarrow c_{2}^{-}} \displaystyle\frac{f\left(c_{2}\right)-f(x)}{c_{2}-x} \geq \displaystyle\lim _{x \rightarrow c_{2}^{-}} \displaystyle\frac{f(x)-f\left(c_{1}\right)}{x-c_{1}}=\displaystyle\frac{f\left(c_{2}\right)-f\left(c_{1}\right)}{c_{2}-c_{1}}$ 进而 $f^{\prime}\left(c_{1}\right)=\displaystyle\lim _{x \rightarrow c_{1}^{+}} \displaystyle\frac{f(x)-f\left(c_{1}\right)}{x-c_{1}} \leq \displaystyle\lim _{x \rightarrow c_{2}^{-}} \displaystyle\frac{f(x)-f\left(c_{2}\right)}{x-c_{2}}=f^{\prime}\left(c_{2}\right)$ ，即 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 上单增．