2008年考研数学一第1题

已知函数 $f(x) = \int_{0}^{x^2} \ln(2+t) \, dt$，需要求 $f'(x)$。 这是一个变上限积分求导问题，上限为 $g(x) = x^2$，被积函数为 $h(t) = \ln(2+t)$。根据变上限积分求导公式： 若 $F(x) = \int_{0}^{g(x)} h(t) \, dt$，则 $F'(x) = h(g(x)) \cdot g'(x)$。 首先计算 $g'(x)$： $$g(x) = x^2 \quad \Rightarrow \quad g'(x) = 2x.$$ 然后计算 $h(g(x))$： $$h(t) = \ln(2+t) \quad \Rightarrow \quad h(g(x)) = \ln(2 + x^2).$$ 代入公式得： $$f'(x) = \ln(2 + x^2) \cdot 2x.$$ 因此，所求导数为 $f'(x) = 2x \ln(2 + x^2)$。

由前两步已知，函数$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$内可导，且导函数$f'(x)$的表达式已推导为$f'(x)=e^{x^2}\cdot 2x$。为确定$f'(x)$的零点个数，我们解方程$f'(x)=0$，即$e^{x^2}\cdot 2x=0$。由于指数函数$e^{x^2}>0$恒成立（对任意实数$x$，$e^{x^2}>0$），因此方程等价于$2x=0$，解得$x=0$。故$f'(x)$只有一个零点$x=0$。 验证：当$x<0$时，$2x<0$，$e^{x^2}>0$，故$f'(x)<0$；当$x>0$时，$2x>0$，$e^{x^2}>0$，故$f'(x)>0$。因此$x=0$是$f'(x)$的唯一零点，且为$f(x)$的极小值点。 综上，$f'(x)$的零点个数为1，对应选项（B）。